裴礼文 一元微分学 240页 留念题3.2.35 解答

castelu

留念题3.2.35：

　　设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(a)<f(b)$，又设对一切$x \in (a,b)$
$$\lim\limits_{t \to 0}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}$$
　　存在，用$g(x)$表示这一极限值。试证：存在$c \in (a,b)$，使得$g(c) \ge 0$。

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解：
　　根据介值定理，$\exists c \in (a,b)$，使得
$$f(c)=\frac{f(a)+f(b)}{2}$$
　　令集合
$$S=\left\{t|\forall x \in [a,t),f(x) \le f(c)\right\}$$
　　显然$S$非空有界，所以存在上确界，设
$$\xi = \sup S$$
　　那么
$$f(\xi)=f(c)$$
　　且对任意的$x<\xi$有
$$f(x)<f(c)$$
　　而且存在着点列$\left\{y_n > \xi \right\}$，且$y_n \to \xi$，满足
$$f(y_n)>f(c)$$
　　令$t_n=y_n-\xi>0$，所以
$$f(\xi+t_n)-f(\xi-t_n)=f(y_n)-f(\xi-t_n)>0$$
　　于是
$$g(\xi) \ge 0$$