裴礼文 级数 478页 练习5.1.20 解答

castelu

练习5.1.20：

　　设$a_n>0$，$\sum a_n$收敛，$na_n$单调，证明：
$$\lim\limits_{n \to \infty}na_n\ln n=0$$

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解：
　　由$\sum a_n$收敛，$na_n$单调，可知$na_n$单调递减
$$\begin{eqnarray*}
\left|\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}a_k \right|&=&\left|\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}\frac{1}{k}\cdot ka_k \right|\\
&\ge&na_n\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}\frac{1}{k} \ge na_n\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx\\
&=&na_n\int_{[\sqrt n]}^n\frac{1}{x}dx \ge na_n\int_{\sqrt n}^n\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}na_n\ln n \\
\end{eqnarray*}$$
　　又由$Cauchy$收敛原理，$\forall \epsilon>0$，$\exists N>0$，$\forall n>N$
$$\left|\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}a_k \right|  < \frac{\epsilon}{2}$$
　　于是
$$\lim\limits_{n \to \infty}na_n\ln n=0$$