裴礼文 级数 581页 练习5.3.15 解答

castelu

练习5.3.15：
　　设幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径大于$0$，证明：
（1）$\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n=0$；
（2）如果$a_1 \ne 0$，并且在原点的一个邻域里，$\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\right| \ge |a_1||x|-2x^2$逐点成立，那么$|a_2| \le 2$。

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解：
（1）设幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径为$R$，由于$R>0$，所以幂级数在$(-R,R)$内闭一致收敛
$$\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lim\limits_{x \to 0}a_nx^n=0$$
（2）反证法，假设$|a_2|>2$，如果$a_2>2$
　　若$a_1>0$，$\exists \delta>0$，$\forall x \in (-\delta,0)$，使得
$$\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\right| < |a_1||x|-2x^2$$
　　成立，矛盾。
　　若$a_1<0$，$\exists \delta>0$，$\forall x \in (0,\delta)$，使得
$$\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\right| < |a_1||x|-2x^2$$
　　成立，矛盾。
　　同理可证当$a_2<-2$时的情形。