蓝以中上册 行列式 208页 习题二6 解答

castelu

习题二6：
　　设$A$是$n$阶方阵，$n \ge 2$。证明：
$$r(A^*)=\left\{ \begin{array}{l}
n, 当r(A)=n\\
1, 当r(A)=n-1\\
0, 当r(A)<n-1
\end{array} \right.$$

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解：
　　当$r(A)=n$时，$|A| \ne 0$，故
$$|A^*|=|A|^{n-1} \ne 0$$
　　所以
$$r(A^*)=n$$
　　当$r(A)=n-1$时，$A$至少有一个$n-1$阶子式不为$0$，所以
$$r(A^*) \ge 1$$
　　又由$|A|=0$，得
$$AA^*=|A|E=O$$
　　及《蓝以中上册 向量空间与矩阵 117页 习题四7 解答》知
$$r(A)+r(A^*) \le n$$
　　从而
$$r(A^*) \le 1$$
　　所以
$$r(A^*)=1$$
　　当
$$r(A)<n-1$$
　　时，$A$的一切$n-1$阶子式全为$0$，所以
$$A^*=O$$
　　因而
$$r(A^*)=0$$