蓝以中上册 行列式 209页 习题二11 解答

castelu

习题二11：
　　给定数域$K$上$n$个互不相同的数$a_1, a_2, \cdots, a_n$，又任意给定数域$K$上$n$个数，$b_1, b_2, \cdots, b_n$。证明：存在数域$K$上一个次数小于$n$的多项式$f(x)$，使
$$f(a_i)=b_i(i=1,2,\cdots,n)$$
　　且这样的多项式是唯一的。

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解：
　　假设存在这样的数域$K$上一个次数小于$n$的多项式$f(x)$
$$f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}$$
　　将$f(a_i)=b_i(i=1,2,\cdots,n)$代入，可得线性方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
c_0+c_1a_1+\cdots+c_{n-1}a_1^{n-1}=b_1\\
c_0+c_1a_2+\cdots+c_{n-1}a_2^{n-1}=b_2\\
\cdots\\
c_0+c_1a_n+\cdots+c_{n-1}a_n^{n-1}=b_n
\end{array} \right.$$
　　改成矩阵乘积的形式
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{a_1}&{\cdots}&{a_1^{n-1}}\\
{1}&{a_2}&{\cdots}&{a_2^{n-1}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{1}&{a_n}&{\cdots}&{a_n^{n-1}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{c_0}\\
{c_1}\\
{\vdots}\\
{c_{n-1}}
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{b_1}\\
{b_2}\\
{\vdots}\\
{b_n}
\end{array}} \right)$$
　　显然，系数行列式是$Vandermonde$行列式的转置，值为
$$\prod\limits_{1 \le i<j \le n}(a_j-a_i)$$
　　由于$a_1, a_2, \cdots, a_n$是数域$K$上$n$个互不相同的数
　　所以
$$a_i \ne a_j(i \ne j)$$
　　于是，系数行列式不为$0$，线性方程组有唯一的非零解
$$(c_0,c_1,\cdots,c_{n-1})'$$
　　这样就确定了以此向量的每一个分量为系数的数域$K$上一个次数小于$n$的多项式$f(x)$，且这样的多项式是唯一的。