蓝以中上册 线性空间与线性变换 268页 习题二8 解答

castelu

习题二8：
　　设$M$是数域$K$上线性空间$V$的子空间，如果$M \ne V$，则$M$称为$V$的真子空间。证明$V$的有限个真子空间的并集不能填满$V$。

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解：
　　设
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
　　是线性空间$V$的$s$个真子空间
　　只需证明：$V$中至少有一向量不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
　　中任何一个
　　就有$V$的有限个真子空间的并集不能填满$V$
　　若
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
　　都是零空间，显然
$$\forall \alpha \ne 0$$
　　$\alpha$就是需要找的向量
　　故不妨假设
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
　　都是非平凡子空间
　　应用数学归纳法证明
　　当$s=2$时
　　因$V_1,V_2$为非平凡子空间，故存在
$$\alpha \notin V_1$$
　　如果
$$\alpha \notin V_2$$
　　则命题已证
　　若
$$\alpha \in V_2$$
　　另外存在
$$\beta \notin V_2$$
　　如果
$$\beta \notin V_1$$
　　则得证
　　若
$$\beta \in V_1$$
　　即
$$\alpha \notin V_1,\alpha \in V_2$$
　　及
$$\beta \in V_1,\beta \notin V_2$$
　　可得
$$\alpha+\beta \notin V_1,V_2$$
　　事实上，若
$$\alpha+\beta \in V_1$$
　　又
$$\beta \in V_1$$
　　则必定
$$\alpha \in V_1$$
　　这与假设矛盾，故
$$\alpha+\beta \in V_1$$
　　同理可证
$$\alpha+\beta \notin V_2$$
　　结论成立
　　假定对于$s-1$结论成立
　　那么对于$s$个子空间
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
　　至少存在$V$中一个向量
$$\alpha \notin V_i,i=1,2,\cdots,s-1$$
　　若
$$\alpha \notin V_s$$
　　则结论成立
　　若
$$\alpha \in V_s$$
　　又由$V_s$是非平凡子空间知，存在$V$中一个向量
$$\beta \notin V_s$$
　　于是向量
$$\alpha+\beta,\alpha+2\beta,\cdots,\alpha+s\beta$$
　　中至少有一个不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_{s-1}$$
　　的每一个
　　否则，必有两个这样的向量运算同属于某个
$$V_i(1 \le i \le s-1)$$
　　从而得出
$$\alpha \in V_i$$
　　这与
$$\alpha \notin V_i,i=1,2,\cdots,s-1$$
　　矛盾
　　可设
$$\beta+m\alpha(1 \le m \le s)$$
　　不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_{s-1}$$
　　中的每一个
　　又由
$$\alpha \in V$$
　　以及
$$\beta \notin V$$
　　知
$$\beta+m\alpha \notin V$$
　　所以$V$中至少有一个向量
$$\beta+m\alpha$$
　　不属于
$$V_1,V_2,\cdots,V_s$$
　　中任何一个。