蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四22 解答

castelu

习题四22：
　　设$A$是数域$K$上$n$维线性空间$V$内的线性变换。如果$A$的矩阵可对角化，证明对$A$的任意不变子空间$M$，必存在$A$的不变子空间$N$，使$V=M \oplus N$。

---

解：
　　设$M$是$A$的一个不变子空间
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
　　是$A$的全部互不相同的特征值
　　则
$$V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}$$
　　现令
$$M_i=M \cap V_{\lambda_i}(i=1,2,\cdots,k)$$
　　先证
$$M=M_1\oplus M_2\oplus\cdots\oplus M_k$$
（1）证明和
$$\sum\limits_{i=1}^k M_i$$
　　为直和。只要证零向量表示法唯一。设
$$0=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k$$
　　现在
$$\alpha_i \in N_i \subseteq V_{\lambda_i}$$
　　由于
$$\sum\limits_{i=1}^k V_{\lambda_i}$$
　　为直和
　　故必
$$\alpha_i=0$$
　　于是
$$\sum\limits_{i=1}^k M_i$$
　　为直和
（2）证明
$$\sum\limits_{i=1}^k M_i=M$$
　　显然
$$\sum\limits_{i=1}^k M_i \subseteq M$$
　　反之，设$\alpha$为$M$内任意向量，则因$\alpha \in V$，有
$$\left\{ \begin{array}{l}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k\\
A\alpha=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_k\alpha_k\\
\cdots\\
A^{k-1}\alpha=\lambda_1^{k-1}\alpha_1+\lambda_2^{k-1}\alpha_2+\cdots+\lambda_k^{k-1}\alpha_k
\end{array} \right.(\alpha_i \in V_{\lambda_i})$$
　　即
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha}\\
{A\alpha}\\
{\vdots}\\
{A^{k-1}\alpha}
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{1}&{\cdots}&{1}\\
{\lambda_1}&{\lambda_2}&{\cdots}&{\lambda_k}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{\lambda_1^{k-1}}&{\lambda_2^{k-1}}&{\cdots}&{\lambda_k^{k-1}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha_1}\\
{\alpha_2}\\
{\vdots}\\
{\alpha_k}
\end{array}} \right)$$
　　上式右端$k$阶方阵的行列式为$Vandermonde$行列式
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
　　互不相同，故该行列式不为$0$，即此$k$阶方阵可逆，设其逆矩阵为$T \in M_k(K)$，则
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha_1}\\
{\alpha_2}\\
{\vdots}\\
{\alpha_k}
\end{array}} \right)=T\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha}\\
{A\alpha}\\
{\vdots}\\
{A^{k-1}\alpha}
\end{array}} \right)$$
　　因$M$为$A$的不变子空间，故
$$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha \in M$$
　　而由上式得出$\alpha_i$可被
$$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$$
　　线性表示
　　故
$$\alpha_i \in M$$
　　亦即
$$\alpha_i \in V_{\lambda_i} \cap M=M_i$$
　　由此推知
$$M \subseteq \sum\limits_{i=1}^k M_i$$
　　即
$$M=\sum\limits_{i=1}^k M_i$$
　　综合上述两方面的结果知
$$M=M_1\oplus M_2\oplus\cdots\oplus M_k$$
　　令
$$V_{\lambda_i}=M_i\oplus N_i$$
　　则$$\sum\limits_{i=1}^k N_i$$
　　为直和
　　令
$$N=N_1\oplus N_2\oplus\cdots\oplus N_k$$
　　对任意
$$\alpha \in N_i \subseteq V_{\lambda_i}$$
　　我们有
$$A\alpha=\lambda_i\alpha \in N_i$$
　　故$N_i$为$A$的不变子空间，从而$N$是$A$的不变子空间
　　现在
$$\begin{eqnarray*}
M+N&=&\sum\limits_{i=1}^kM_i+\sum\limits_{i=1}^kN_i=\sum\limits_{i=1}^k(M_i+N_i)\\
&=&\sum\limits_{i=1}^kV_{\lambda_i}=V
\end{eqnarray*}$$
　　来证$M+N$是直和
　　设
$$0=\alpha+\beta,\alpha \in M,\beta \in N$$
　　我们有
$$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k,\alpha_i \in M_i$$
$$\beta=\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_k,\beta_i \in N_i$$
　　故
$$0=\alpha+\beta=(\alpha_1+\beta_1)+(\alpha_2+\beta_2)+\cdots+(\alpha_k+\beta_k)$$
　　因
$$\alpha_i+\beta_i \in V_{\lambda_i}$$
　　而
$$\sum V_{\lambda_i}$$
　　为直和
　　故必
$$\alpha_i+\beta_i=0$$
　　这里
$$\alpha_i \in M_i,\beta_i \in N_i$$
　　而
$$M_i+N_i$$
　　为直和
　　故
$$\alpha_i=0,\beta_i=0$$
　　于是
$$\alpha=0,\beta=0$$
　　即
$$M+N$$
　　为直和。