蓝以中上册 双线性函数与二次型 345页 习题一20 解答

castelu

习题一20：
　　设$V$是数域$K$上的线性空间，$f(\alpha)$，$g(\alpha)$是$V$内两个线性函数，且
$$f(\alpha)g(\alpha)=0$$
　　证明
$$f(\alpha) \equiv 0$$
　　或
$$g(\alpha) \equiv 0$$

---

解：
　　设存在
$$\alpha_0 \in V$$
　　使
$$f(\alpha_0) \ne 0$$
　　因为
$$f(\alpha_0)g(\alpha_0)=0$$
　　故
$$g(\alpha_0)=0$$
　　对任意$\beta \in V$，我们有
$$\begin{eqnarray*}
0&=&f(\alpha_0+\beta)g(\alpha_0+\beta)=(f(\alpha_0)+f(\beta))(g(\alpha_0)+g(\beta))\\
&=&f(\alpha_0)g(\beta)+f(\beta)g(\beta)=f(\alpha_0)g(\beta)
\end{eqnarray*}$$
　　已知
$$f(\alpha_0) \ne 0$$
　　由上式推出
$$g(\beta)=0$$