蓝以中上册 双线性函数与二次型 365页 习题三7 解答

castelu

习题三7：
　　设$V$是实数域上的$n$维线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$内对称双线性函数。如果$\alpha \in V$，使$Q_f(\alpha)=0$，则$\alpha$称为一个迷向向量。证明：如果存在$\alpha_0,\beta_0 \in V$使$Q_f(\alpha_0)>0$而$Q_f(\beta_0)<0$，则在$V$内存在一组基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　使其中每个$\epsilon_i$均为迷向向量。

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解：
　　设在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下$Q_f(\alpha)$为规范形
$$g=u_1^2+u_2^2+\cdots+u_p^2-u_{p+1}^2-\cdots-u_{p+q}^2$$
　　易知此时$p>0,q>0$。设$p+q=r$，考查方程组
$$\alpha_{ij}=\epsilon_i+\epsilon_j(i=1,2,\cdots,p;j=p+1,\cdots,p+q)$$
$$\beta_{ij}=\epsilon_i-\epsilon_j(i=1,2,\cdots,p;j=p+1,\cdots,p+q)$$
$$\epsilon_k(k=r+1,r+2,\cdots,n)$$
　　显然有
$$Q_f(\alpha_{ij})=0,Q_f(\beta_{ij})=0,Q_f(\epsilon_k)=0$$
　　因为
$$\epsilon_i=\frac{1}{2}(\alpha_{ij}+\beta_{ij})(i=1,2,\cdots,p)$$
$$\epsilon_j=\frac{1}{2}(\alpha_{ij}-\beta_{ij})(j=p+1,\cdots,p+q)$$
　　故$\left\{\alpha_{ij},\beta_{ij},\epsilon_k\right\}$与$\left\{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\right\}$线性等价，它的一个极大线性无关部分组即是$V$的一组基。