蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四4 解答

castelu

习题四4：
　　设$A$是实对称矩阵，证明：当实数$t$充分大之后，$tE+A$是正定矩阵。

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解：
　　设$A=(a_{ij})$是$m$阶方阵
　　按行列式完全展开式
$$\det (tE+A)$$
　　应为$t$的多项式
　　其展开式有$m!$项，每项是不同行不同列的$m$个元素之积
$$(t+a_{11})(t+a_{22}) \cdots (t+a_{mm})$$
　　其他任一项至少包含一个主对角线外元素$a_{ij}$
　　这时就不能含$(t+a_{ii})$和$(t+a_{jj})$
　　故这些项最多出现$t^{m-2}$
　　它的常数项应为$t=0$时的$|A|$，故
$$\begin{eqnarray*}
\det (tE+A)&=&(t+a_{11})(t+a_{22}) \cdots (t+a_{mm})+\cdots\\
&=&t^m+{\rm Tr}(A)t^{m-1}+\cdots+|A|\\
&=&t^m\left(1+{\rm Tr}(A)\frac{1}{t}+\cdots+\frac{|A|}{t^m}\right)
\end{eqnarray*}$$
　　因此，$t \to +\infty$时
$$\det (tE+A) \to +\infty$$
　　利用上述结果可知当$t$充分大之后
$$(tE+A)\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{1}\\
{1}
\end{array}\right\}=t+a_{11}>0$$
$$\left\{ \begin{array}{l}
(tE+A)\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{2}\\
{1}&{2}
\end{array}\right\}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{t+a_{11}}&{a_{12}}\\
{a_{21}}&{t+a_{22}}
\end{array}} \right|>0\\
\cdots\\
(tE+A)\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{2}&{\cdots}&{n}\\
{1}&{2}&{\cdots}&{n}
\end{array}\right\}=|tE+A|>0
\end{array} \right.$$
　　因此，$tE+A$为正定矩阵。