蓝以中下册 带度量的线性空间 39页 习题二5 解答

castelu

习题二5：
　　证明：$n$维欧式空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

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解：
　　当
$$\dim V=1$$
　　时，取$V$的一组标准正交基$\epsilon$
　　由它定义$V$的镜面反射
$$S\alpha=\alpha-2(\epsilon,\alpha)\epsilon$$
　　此时
$$\alpha=k\epsilon$$
　　故
$$S\alpha=k\epsilon-2(\epsilon,k\epsilon)\epsilon=k\epsilon-2k(\epsilon,\epsilon)\epsilon=-k\epsilon=-\alpha$$
　　现设$A$为$V$内任一正交变换
　　设
$$A\epsilon=k\epsilon$$
　　因
$$|A\epsilon|=|\epsilon|=1$$
　　故
$$k=\pm 1$$
　　若
$$A\epsilon=\epsilon$$
　　则
$$A=E=S^2$$
　　若
$$A\epsilon=-\epsilon$$
　　则对一切$\alpha \in V$
$$\alpha=k\epsilon$$
　　于是
$$A\alpha=A(k\epsilon)=kA\epsilon=-k\epsilon=-\alpha$$
　　即
$$A=S$$
　　故$n=1$时结论成立
　　设对$n-1$维欧式空间命题成立
　　对$n$维欧式空间$V$内一正交变换$T$
　　若$T=E$，则任取$V$内一镜面反射$A$
　　由《蓝以中下册 带度量的线性空间 38页 习题二1 解答》知
$$E=AA$$
　　若$T \ne E$，则有$V$内单位向量$\epsilon$，使
$$T\epsilon=\eta \ne \epsilon$$
　　按《蓝以中下册 带度量的线性空间 38页 习题二3 解答》，存在$V$内镜面反射$A$，使
$$A\eta=\epsilon$$
　　于是
$$AT\epsilon=\epsilon$$
　　令
$$M=L(\epsilon)$$
　　因为$AT$仍为正交变换
　　故$M^{\bot}$为$AT$的$n-1$维不变子空间，且
$$\left.(AT)\right|_{M^{\bot}}$$
　　为正交变换
　　按归纳假设，在$M^{\bot}$内存在单位向量
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k$$
　　它们分别决定$M^{\bot}$内镜面反射
$$A_1,A_2,\cdots,A_k$$
　　使
$$\left.(AT)\right|_{M^{\bot}}=A_1A_2 \cdots A_k$$
　　现将$A_i$定义范围扩大至$V$，即补充定义
$$A_i(\epsilon)=\epsilon$$
　　则$A_i$即为$\alpha_i$在$V$内决定的镜面反射
　　这是因为对任意
$$\alpha \in V$$
　　设
$$\alpha=\beta_1+\beta_2$$
　　这里
$$\beta_1=b\epsilon \in M,\beta_2 \in M^{\bot}$$
　　则（注意$(\beta_1,\alpha_i)=0$）
$$\begin{eqnarray*}
A_i(\alpha)&=&A_i\beta_1+A_i\beta_2=\beta_1+\beta_2-2(\alpha_i,\beta_2)\alpha_i\\
&=&\alpha-2(\alpha_i,\beta_1+\beta_2)\alpha_i=\alpha-2(\alpha_i,\alpha)\alpha_i
\end{eqnarray*}$$
　　现在显然有
$$A_1A_2 \cdots A_k(\beta_1)=\beta_1$$
　　因为
$$AT(\epsilon)=\epsilon$$
　　故
$$AT(\beta_1)=\beta_1$$
　　有
$$\begin{eqnarray*}
(AT)\alpha&=&(AT)\beta_1+AT\beta_2=\beta_1+A_1A_2 \cdots A_k \beta_2\\
&=&A_1A_2 \cdots A_k(\beta_1)+A_1A_2 \cdots A_k\beta_2\\
&=&A_1A_2 \cdots A_k(\beta_1+\beta_2)=A_1A_2 \cdots A_k \alpha
\end{eqnarray*}$$
　　于是
$$AT=A_1A_2 \cdots A_k$$
　　注意到
$$A^2=E$$
　　上式两边左乘$A$即得
$$A=AA_1A_2 \cdots A_k$$