蓝以中下册 带度量的线性空间 41页 习题二18 解答

castelu

习题二18：
　　设$A,B$是$n$阶实对称矩阵，$A$正定，证明：存在一可逆矩阵$T$，使$T'AT$和$T'BT$同时成对角形。

---

解：
　　由于$A$正定，存在可逆矩阵$T_1$，使
$$T_1'AT_1=E$$
　　考查矩阵
$$T_1'BT_1$$
　　显然它是实对称阵，记为$C$
　　故存在正交矩阵$T_2$，使
$$T_2^{-1}CT_2=T_2'CT_2=D$$
　　其中$D$是对角阵
　　令
$$T=T_1T_2$$
　　则
$$T'AT=T_2'T_1'AT_1T_2=E$$
$$T'BT=T_2'T_1'BT_1T_2=D$$
　　它们同时成对角形。