蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 81页 习题一7 解答

castelu

习题一7：
　　设$A$是$n$维线性空间$V$内的一个幂零线性变换，如果$A$有两个线性无关特征向量$\alpha,\beta$，证明$A$不是循环幂零线性变换。

---

解：
　　若$A$是循环幂零线性变换，则$V$内存在向量$\gamma$，使
$$A^{n-1}\gamma \ne 0,A^n\gamma=0$$
　　而
$$V=L(\gamma,A\gamma,\cdots,A^{n-1}\gamma)$$
　　因
$$\gamma,A\gamma,\cdots,A^{n-1}\gamma$$
　　是$V$的一组基，设
$$\alpha=x_0\gamma+x_1A\gamma+\cdots+x_{n-1}A^{n-1}\gamma$$
$$\beta=y_0\gamma+y_1A\gamma+\cdots+y_{n-1}A^{n-1}\gamma$$
　　因为幂零线性变换仅有一个特征值
$$\lambda_0=0$$
　　故知
$$A\alpha=0,A\beta=0$$
　　由上面两式得
$$A\alpha=x_0A\gamma+x_1A^2\gamma+\cdots+x_{n-2}A^{n-1}\gamma=0$$
$$A\beta=y_0A\gamma+y_1A^2\gamma+\cdots+y_{n-2}A^{n-1}\gamma=0$$
　　因为
$$A\gamma,A^2\gamma,\cdots,A^{n-1}\gamma$$
　　线性无关，上式推出
$$x_0=x_1=\cdots=x_{n-2}=0$$