蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一27 解答

castelu

习题一27：
　　证明：数域$K$内次数$>0$的首一多项式$f(x)$是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对数域$K$内任意的多项式$g(x)$必有
$$(f(x),g(x))=1$$
　　或者对某一正整数$m$
$$f(x)|g^m(x)$$

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解：
　　必要性
　　设
$$f(x)=p^s(x)（其中p(x)是不可约多项式）$$
　　则对任意多项式$g(x)$，只有两种可能
（1）
$$(p(x),g(x))=1$$
（2）
$$p(x)|g(x)$$
　　对于（1）的情况，有
$$(f(x),g(x))=1$$
　　对于（2）的情形，有
$$p^s(x)|g^s(x)$$
　　即
$$f(x)|g^s(x)$$
　　此时取
$$s=m$$
　　即可得证
　　充分性
　　假设$f(x)$不是某一个多项式的方幂，则
$$f(x)=p_1^{\lambda_1}(x)p_2^{\lambda_2}(x) \cdots p_n^{\lambda_n}(x)(n>1,\lambda_1是正整数,p_i(x)不可约)$$
　　令
$$g(x)=p_1(x)$$
　　由题设可知$f(x)$与$g(x)$只有两种可能
（1）
$$(f(x),g(x))=1$$
（2）
$$f(x)|g^m(x)(m为某一正整数)$$
　　但两种情形都是不可能的，与题设矛盾，故原命题成立。