函数极限的性质

castelu

定理1（唯一性）　若极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$存在，则此极限是唯一的。

定理2（局部有界性）　若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$存在，则$f$在$x_0$的某空心邻域$U^\circ \left( x_0 \right)$内有界。

定理3（局部保号性）　若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = A > 0$（或$<0$），则对任何正数$r < A$（或$r < -A$），存在$U^\circ \left( x_0 \right)$，使得对一切$x \in U^\circ \left( x_0 \right)$有
$$f\left( x \right) > r > 0（或f\left( x \right) < -r < 0）。$$

定理4（保不等式性）　设$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$与$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right)$都存在，且在某邻域$U^\circ \left( x_0;\delta' \right)$内有$f\left( x \right) \le g\left( x \right)$，则
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) \le \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right)$$

定理5（迫敛性）　设$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right) = A$，且在某$U^\circ \left( x_0;\delta' \right)$内有
$$f\left( x \right) \le h\left( x \right) \le g\left( x \right)，$$
　　则$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}h\left( x \right) = A$。

定理6（四则运算法则）　若极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$与$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right)$都存在，则函数$f \pm g$，$f*g$当$x \to x_0$时极限也存在，且
（1）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\left[ f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \right] = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) \pm \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right)$；
（2）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right] = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right)$；
又若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right) \ne 0$，则$\frac{f}{g}$当$x \to x_0$时极限存在，且有
（3）$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)}{\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g\left( x \right)}$。