复合函数的导数

castelu

引理　$f(x)$在点$x_0$可导的充要条件是：在$x_0$的某邻域$U(x_0)$内，存在一个在点$x_0$连续的函数$H(x)$，使得
$$f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)，$$
从而，$f'(x_0)=H(x_0)$。

注1　引理说明了点$x_0$是函数$g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$可去间断点的充要条件是$f(x)$在点$x_0$可导。这个结论可推广到向量函数的导数。

定理　设$u = \phi(x)$在点$x_0$可导，$y=f(u)$在点$u_0 = \phi(x_0)$可导，则复合函数$f \circ \phi$在点$x_0$可导，且
$$(f \circ \phi)'(x_0)=f'(u_0) \phi '(x_0)=f'(\phi(x_0)) \phi '(x_0)。$$

注2　复合函数的求导公式亦称为链式法则。函数$y=f(u)$，$u = \phi(x)$的复合函数在点$x$的求导公式一般也写作
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}。$$

对于由多个函数复合而得的复合函数，其导数公式可反复应用上式而得。

注3　$f'(\phi(x))=f'(u)|_{u = \phi(x)}$与$(f(\phi(x)))' = f'(\phi(x)) \phi '(x)$的含义不可混淆。