方程的近似解

castelu

　　在实际应用中，常常求方程$f(x)=0$的解。而方程求解的方法主要有两种：解析法和数值法。解析法也称为公式法，得到的解是精确的，比如一元二次方程的求解公式。然而并不是所有的方程的根都能通过这种方法而求得。法国著名数学家伽罗瓦（Galois）在19世纪就证明了形如
$$y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0=0(a_n \ne 0)$$
　　的代数方程，当$n \ge 5$时，一般不存在求解公式。因此对于一般方程，我们必须寻求其他的求解方法。
　　下面我们介绍一种数值解法——牛顿切线法。
　　设$f$为$[a,b]$上的二阶可导函数，满足
$$f'(x) \cdot f''(x) \ne 0，f(a) \cdot f(b)<0。$$
　　牛顿切线法的基本思想是构造一收敛点列$\left\{x_n \right\}$，使其极限$\lim\limits_{n \to \infty}x_n= \xi$恰好是方程$f(x)=0$的解。因此当$n$充分大时，$x_n$可作为$\xi$的近似值。下面分四种情形进行讨论。
（1）设$f'(x)<0$，$f''(x)>0$。从而有$f(a)>0$，$f(b)<0$，并设$f(\xi)=0$。令
$$x_0=a，x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}，n=1,2,\cdots。$$
　　因为$f''(x)>0$，所以$f$为$[a,b]$上的严格凸函数，有
$$f(x) \ge f(a)+f'(a)(x-a)，x \in (a,b]。$$
　　设$x_0=a$，则$y=f(x)$在点$a$的切线与$x$轴的交点为
$$x_1=a-\frac{f(a)}{f'(a)}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$
　　由$f$为$[a,b]$上的严格凸函数，可知$f(x_1)>0$。
　　以$[x_1,b]$代替$[a,b]$重复上述步骤可将$y=f(x)$在点$x_1$的切线与$x$轴交点为
$$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}，$$
　　其中$f(x_2)>0$，$a=x_0<x_1<x_2< \xi<b$。
　　如此继续上述过程可得如上式确定的点列$\left\{x_n \right\}$。显然$\left\{x_n \right\}$严格递增且有上界，故可设$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=c$。由于$f$和$f'$连续，对上式取极限，得
$$c=c-\frac{f(c)}{f'(c)}$$
　　因而有$f(c)=0$。由$f$严格单调，可知方程$y=f(x)$的解唯一，从而$c= \xi$。
　　最后我们估计以$x_n$作为$\xi$的近似值的误差。由中值定理
$$f(x_n)=f(x_n)-f(\xi)=f'(\eta)(x_n- \xi)，x_n < \eta< \xi，$$
　　因而
$$x_n- \xi=\frac{f(x_n)}{f'(\eta)}。$$
　　记$m= \min\limits_{x \in [a,b]}{|f'(x)|}$，则
$$|x_n- \xi| \le \frac{|f(x_n)|}{m}。$$
　　读者可类似讨论余下三种情形。
（2）$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，这时又有$f(a)<0$，$f(b)>0$；
（3）$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，这时又有$f(a)<0$，$f(b)>0$；
（4）$f'(x)<0$，$f''(x)<0$，这时又有$f(a)>0$，$f(b)<0$；
　　对它们同样能构造数列，并可证明其极限是方程$y=f(x)$的解。只是在（2）、（4）两种情形下，应改取$x_0=b$，相应得到的$\left\{x_n \right\}$是单调递减的。