有限覆盖定理

castelu

定义　设$S$为数轴上的点集，$H$为开区间的集合（即$H$的每一个元素都是形如$(\alpha,\beta)$的开区间）。若$S$中任何一点都含在$H$中至少一个开区间内，则称$H$为$S$的一个开覆盖，或称$H$覆盖$S$。若$H$中开区间的个数是无限（有限）的，则称$H$为$S$的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。

　　在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定。例如，若函数$f$在$(a,b)$内连续，则给定$\epsilon >0$，对每一点$x \in (a,b)$，都可确定正数$\delta_x$（它依赖于$\epsilon$与$x$），使得当$x' \in U(x;\delta_x)$时有$|f(x')-f(x)|< \epsilon$。这样就得到一个开区间集$H=\left\{(x- \delta_x,x+ \delta_x)|x \in (a,b) \right\}$，它是区间$(a,b)$的一个无限开覆盖。

定理（Heine-Borel有限覆盖定理）　设$H$为闭区间$[a,b]$的一个（无限）开覆盖，则从$H$中可选出有限个开区间来覆盖$[a,b]$。

注　定理的结论只对闭区间$[a,b]$成立，而对开区间则不一定成立。