不定积分

castelu

定义　函数$f$在区间$I$上的全体原函数称为$f$在$I$上的不定积分，记作
$$\int f(x)dx，$$
　　其中称$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)dx$为被积表达式，$x$为积分变量。尽管记号中各个部分都有其特定的名称，但在使用时必须把它们看作一整体。
　　由定义可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若$F$是$f$的一个原函数，则$f$的不定积分是一个函数族${F+C}$，其中$C$是任意常数。为方便起见，写作
$$\int f(x)dx=F(x)+C。$$
　　这时又称$C$为积分常数，它可取任一实数值。于是又有
$$[\int f(x)dx]'=[F(x)+C]'=f(x)，$$
$$d \int f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx。$$
　　若$F$是$f$的一个原函数，则称$y=F(x)$的图象为$f$的一条积分曲线。于是，$f$的不定积分在几何上表示$f$的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
　　在求原函数的具体问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件$F(x_0)=y_0$（称为初始条件，它由具体问题所规定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点$(x_0,y_0)$的那一条积分曲线。
　　从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则：

定理　若函数$f$与$g$在区间$I$上都存在原函数，$k_1$、$k_2$为两个任意常数，则$k_1f+k_2g$在$I$上也存在原函数，且
$$\int [k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1 \int f(x)dx+k_2 \int f(x)dx。$$

　　线性法则的一般形式为
$$\int (\sum\limits_{i=1}^nk_i f_i(x))dx= \sum\limits_{i=1}^n(k_i \int f_i(x)dx)。$$
　　需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来。在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的。例如
$$\int e^{\pm x^2}dx，\int \frac{dx}{\ln x}，\int \frac{\sin x}{x}dx，\int \sqrt{1+k^2 \sin^2 x}dx(0<k^2<1)$$
　　等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示（这个结论证明起来是非常难的，刘维尔（Liouville）于1835年作出过证明）。因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数。
　　最后顺便指出，在求不定积分时，还可利用现成的积分表。在积分表中所有的积分公式是按被积函数分类编排的，人们只要根据被积函数的类型，或经过适当变形化为表中列出的类型，查阅公式即可。此外，有些计算器（例如TI-92型）和电脑软件（例如Mathematica，Maple等）也都具有求不定积分的实用功能。但对于初学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法。