有理函数的不定积分

castelu

　　有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为
$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\alpha_0x^n+ \alpha_1x^{n-1}+ \cdots + \alpha_n}{\beta_0x^m+ \beta_1x^{m-1}+ \cdots + \beta_m}，$$
　　其中$n$，$m$为非负整数，$\alpha_0$，$\alpha_1$，$\cdots$，$\alpha_n$与$\beta_0$，$\beta_1$，$\cdots$，$\beta_m$都是常数，且$\alpha_0 \ne 0$，$\beta_0 \ne 0$。若$m>n$，则称它为真分式；若$m \le n$，则称它为假分式。由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设上式为一有理真分式。
　　根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和（称为部分分式分解）。因而问题归结为求那些部分分式的不定积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下：

第一步　对分母$Q(x)$在实系数内作标准分解：
$$Q(x)=(x-a_1)^{\lambda_1} \cdots (x-a_s)^{\lambda_s}(x^2+p_1x+q_1)^{\mu_1} \cdots (x^2+p_tx+q_t)^{\mu_t}，$$
　　其中$\beta_0=1$，$\lambda_i$，$\mu_j$（$i=1,2,\cdots,s;j=1,2,\cdots,t$）均为自然数，而且
$$\sum\limits_{i=1}^s \lambda_i+2\sum\limits_{j=1}^t \mu_j=m；p_j^2-4q_j<0，j=1,2,\cdots,t。$$

第二步　根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如$(x-a)^k$的因式，它所对应的部分分式是
$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+ \cdots +\frac{A_k}{(x-a)^k}；$$
　　对每个形如$(x^2+px+q)^k$的因式，它所对应的部分分式是
$$\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+ \cdots +\frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k}。$$
　　把所有部分分式加起来，使之等于$R(x)$。（至此，部分分式中的常数系数$A_i$，$B_i$，$C_i$尚为待定的。）

第三步　确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母$Q(x)$，而其分子亦应与原分子$P(x)$恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。

　　一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分。由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：
（I）$\int \frac{dx}{(x-a)^k}$；（II）$\int \frac{Lx+M}{(x^2+px+q)^k}dx(p^2-4q<0)$。
　　对于（I），已知
$$\int \frac{dx}{(x-a)^k}= \left\{ \begin{array}{l} \ln |x-a|+C,k=1\\ \frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C,k>1\end{array} \right.$$
　　对于（II），只要作适当换元（令$t=x+\frac{p}{2}$），便化为
$$\int \frac{Lx+M}{(x^2+px+q)^k}dx=\int \frac{Lt+N}{(t^2+r^2)^k}dt=L \int \frac{t}{(t^2+r^2)^k}dt+N \int \frac{dt}{(t^2+r^2)^k}，$$
　　其中$r^2=q-\frac{p^2}{4}$，$N=M-\frac{P}{2}L$。
　　当$k=1$时，上式右边两个不定积分分别为
$$\int \frac{t}{t^2+r^2}dt=\frac{1}{2}\ln (t^2+r^2)+C，$$
$$\int \frac{dt}{t^2+r^2}=\frac{1}{r} \arctan \frac{t}{r}+C。$$
　　当$k \ge 2$时，上式右边第一个不定积分为
$$\int \frac{t}{(t^2+r^2)^k}dt=\frac{1}{2(1-k)(t^2+r^2)^{k-1}}+C。$$
　　对于第二个不定积分，记
$$I_k=\int \frac{dt}{(t^2+r^2)^k}，$$
　　可用分部积分法导出递推公式如下：
$$I_k=\frac{1}{r^2} \int \frac{(t^2+r^2)-t^2}{(t^2+r^2)^k}dt$$
$$=\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{r^2} \int \frac{t^2}{(t^2+r^2)^k}dt$$
$$=\frac{1}{r^2}I_{k-1}+\frac{1}{2r^2(k-1)} \int td(\frac{1}{(t^2+r^2)^{k-1}})$$
$$=\frac{1}{r^2}I_{k-1}+\frac{1}{2r^2(k-1)}[\frac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-I_{k-1}]。$$
　　经整理得到
$$I_k=\frac{t}{2r^2(k-1)(t^2+r^2)^{k-1}}+\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}I_{k-1}。$$
　　重复使用递推公式，最终归为计算$I_1$，这已由上式给出。
　　把所有这些局部结果代回，并令$t=x+\frac{p}{2}$，就完成了对不定积分（II）的计算。