积分中值定理

castelu

定理1（积分第一中值定理）　若$f$在$[a,b]$上连续，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使得
$$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)。$$

　　积分第一中值定理的几何意义是，若$f$在$[a,b]$上非负连续，则$y=f(x)$在$[a,b]$上的曲边梯形面积等于以$f(\xi)$为高，$[a,b]$为底的矩形面积。而$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$则可理解为$f(x)$在区间$[a,b]$上所有函数值的平均值。这是通常有限个数的算术平均值的推广。

定理2（推广的积分第一中值定理）　若$f$与$g$都在$[a,b]$上连续，且$g(x)$在$[a,b]$上不变号，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使得
$$\int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx。$$
　　（当$g(x) \equiv 1时$，即为积分第一中值定理）

定理3（积分第二中值定理）　设函数$f$在$[a,b]$上可积。
（i）若函数$g$在$[a,b]$上减，且$g(x) \ge 0$，则存在$\xi \in [a,b]$，使得
$$\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^{\xi} f(x)dx；$$
（ii）若函数$g$在$[a,b]$上增，且$g(x) \ge 0$，则存在$\eta \in [a,b]$，使得
$$\int_a^b f(x)g(x)dx=g(b)\int_{\eta}^b f(x)dx。$$

推论　设函数$f$在$[a,b]$上可积，若$g$为单调函数，则存在$\xi \in [a,b]$，使得
$$\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^{\xi} f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^b f(x)dx。$$

　　积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具。