定积分换元积分法

castelu

定理（定积分换元积分法）　若函数$f$在$[a,b]$上连续，$\phi$在$[\alpha,\beta]$上连续可微，且满足
$$\phi(\alpha)=a,\phi(\beta)=b，a \le \phi(t) \le b，t \in [\alpha,\beta]，$$
　　则有定积分换元公式：
$$\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t)) \phi'(t)dt。$$

　　在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代入并求得其差值就可以了。这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果上式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了。

注　如果在定理的条件中只假定$f$为可积函数，但还要求$\phi$是单调的，那么上式仍然成立。