由平行截面面积求体积

castelu

　　设$\Omega$为三维空间中的一立体，它夹在垂直于$x$轴的两平面$x=a$与$x=b$之间（$a<b$）。为方便起见称$\Omega$为位于$[a,b]$上的立体。若在任意一点$x \in [a,b]$处作垂直于$x$轴的平面，它截得$\Omega$的截面面积显然是$x$的函数，记为$A(x)$，$x \in [a,b]$，并称之为$\Omega$的截面面积函数。

1、立体体积的一般计算公式
　　设截面面积函数$A(x)$是$[a,b]$上的一个连续函数。对$[a,b]$作分割
$$T: a=x_0<x_1< \cdots <x_n=b。$$
　　过各个分点作垂直于$x$轴的平面$x=x_1$，$i=1,2,\cdots,n$，它们把$\Omega$切割成$n$个薄片。设$A(x)$在每个小区间$\Delta_i=[x_{i-1},x_i]$上的最大、小值分别为$M_i$与$m_i$，那么每一薄片的体积$\Delta V_i$满足
$$m_i \Delta x_i \le \Delta V_i \le M_i \Delta x_i。$$
　　于是，$\Omega$的体积$V=\sum\limits_{i=1}^n \Delta V_i$满足
$$\sum\limits_{i=1}^n m_i \Delta x_i \le V \le \sum\limits_{i=1}^n M_i \Delta x_i。$$
　　因为$A(x)$为连续函数，从而在$[a,b]$上可积，所以当$||T||$足够小时，能使
$$\sum\limits_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = \sum\limits_{i=1}^n (M_i-m_i) \Delta x_i < \epsilon，$$
　　其中$\epsilon$为任意小的正数。由此知道
$$V=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n M_i \Delta x_i（或\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n m_i \Delta x_i）$$
$$=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n A(\xi_i) \Delta x_i，$$
　　其中$A(\xi_i)=M_i$（或$m_i$），所以有
$$V=\int_a^b A(x)dx。$$

2、旋转体的体积公式
　　设$f$是$[a,b]$上的连续函数，$\Omega$是由平面图形
$$0 \le |y| \le |f(x)|，a \le x \le b$$
　　绕$x$轴旋转一周所得的旋转体。那么易知截面面积函数为
$$A(x)= \pi[f(x)]^2，x \in [a,b]。$$
　　由立体体积的一般计算公式，得到旋转体$\Omega$的体积公式为
$$V= \pi \int_a^b [f(x)]^2dx。$$