曲率

castelu

　　曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志。
　　设$\alpha(t)$表示曲线在点$P(x(t),y(t))$处切线的倾角，$\Delta \alpha=\alpha(t+\Delta t)-\alpha(t)$表示动点由$P$沿曲线移至$Q(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t)$时切线倾角的增量。若$\widehat {PQ}$之长为$\Delta s$，则称
$$\overline K=|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|$$
　　为弧段$\widehat {PQ}$的平均曲率。如果存在有限极限
$$K=|\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|=|\lim\limits_{\Delta s \rightarrow 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|=|\frac{d \alpha}{ds}|，$$
　　则称此极限$K$为曲线$C$在点$P$处的曲率。
　　由于假设$C$为光滑曲线，故总有
$$\alpha(t)=\arctan \frac{y'(t)}{x'(t)}或\alpha(t)={\rm arccot} \frac{x'(t)}{y'(t)}。$$
　　又若$x(t)$与$y(t)$二阶可导，则由弧微分可得
$$\frac{d \alpha}{ds}=\frac{\alpha'(t)}{s'(t)}=\frac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{[x'^2(t)+y'^2(t)]^{\frac{3}{2}}}。$$
　　所以曲率计算公式为
$$K=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}。$$
　　若曲线由$y=f(x)$表示，则相应的曲率公式为
$$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}。$$
　　对于圆$x=\cos t$，$y=\sin t$，$0 \le t \le 2 \pi$，显然有
$$K=\frac{1}{R}，$$
　　即在圆上各点处的曲率相同，其值为半径的倒数。
　　容易知道，直线上处处曲率为零。
　　设曲线$C$在其上一点$P$处的曲率$K \ne 0$。若过点$P$作一个半径为$\rho=\frac{1}{K}$的圆，使它在点$P$处与曲线$C$有相同的切线，并在点$P$近旁与曲线位于切线的同侧。我们把这个圆称为曲线$C$在点$P$处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径（$\rho=\frac{1}{K}$）和圆心（$P_0$）称为曲线$C$在点$P$处的曲率半径或曲率中心。由曲率圆的定义可以知道，曲线在点$P$与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸性。