一致收敛函数项级数的性质

castelu

　　现在讨论定义在区间$[a,b]$上函数项级数
$$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$$
　　的连续性、逐项求积与逐项求导的性质，这些性质可由函数列的相应性质推出。

定理1（连续性）　若函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在$[a,b]$上也连续。

　　这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即
$$\sum\limits {\lim\limits_{x \rightarrow x_0}u_n(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\sum\limits u_n(x)}。$$

定理2（逐项求积）　若函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$[a,b]$上一致收敛，且每一项$u_n(x)$都连续，则
$$\sum\limits \int_a^b u_n(x)dx=\int_a^b \sum\limits u_n(x)dx。$$

定理3（逐项求导）　若函数项级数$\sum\limits u_n(x)$在$[a,b]$上每一项都有连续的导函数，$x_0 \in [a,b]$为$\sum\limits u_n(x)$的收敛点，且$\sum\limits u_n'(x)$在$[a,b]$上一致收敛，则
$$\sum\limits {\frac{d}{dx}u_n(x)}=\frac{d}{dx}{\sum\limits u_n(x)}。$$

　　定理2和定理3指出，在一致收敛条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导。