偏导数

castelu

定义　设函数$z=f(x,y)$，$(x,y) \in D$。若$(x_0,y_0) \in D$，且$f(x,y_0)$在$x_0$的某一邻域内有定义，则当极限
$$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta_xf(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
　　存在时，称这个极限为函数$f$在点$(x_0,y_0)$关于$x$的偏导数，记作
$$f_x(x_0,y_0)或\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}。$$

注意1　这里符号$\frac{\partial}{\partial x}$，$\frac{\partial}{\partial y}$专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号$\frac{d}{dx}$相仿，但又有差别。

注意2　在上述定义中，$f$在点$(x_0,y_0)$存在关于$x$（或$y$）的偏导数，$f$至少在$\left\{(x,y)|y=y_0,|x-x_0|<\delta \right\}$（或$\left\{(x,y)|x=x_0,|y-y_0|<\delta \right\}$）上必须有定义。

　　若函数$z=f(x,y)$在区域$D$上每一点$(x,y)$都存在对$x$（或对$y$）的偏导数，则得到函数$z=f(x,y)$在区域$D$上对$x$（或对$y$）的偏导函数（也简称偏导数），记作
$$f_x(x,y)或\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}（f_y(x,y)或\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}，$$
　　也可简单地写作$f_x$，$z_x$或$\frac{\partial f}{\partial x}$（$f_y,z_y$或$\frac{\partial f}{\partial y}$）。
　　二元函数$f(x,y)$的几何图象通常是三维空间中的曲面。设$P_0(x_0,y_0,z_0)$为这曲面上一点，其中$z_0=f(x_0,y_0)$，过$P_0$作平面$y=y_0$，它与曲面的交线
$$C:\left\{ \begin{array}{l} y=y_0\\ z=f(x,y) \end{array} \right.$$
　　是平面$y=y_0$上的一条曲线。于是，二元函数偏导数的几何意义是：$f_x(x_0,y_0)$作为一元函数$f(x,y_0)$在$x=x_0$的导数，就是曲线$C$在点$P_0$处的切线$T_x$对于$x$轴的斜率，即$T_x$与$x$轴正向所成倾角的正切$\tan \alpha$。同样，$f_y(x_0,y_0)$是平面$x=x_0$与曲面$z=f(x,y)$的交线
$$\left\{ \begin{array}{l} x=x_0\\ z=f(x,y) \end{array} \right.$$
　　在点$P_0$处的切线$T_y$关于$y$轴的斜率$\tan \beta$。
　　由偏导数的定义还知道，函数$f$对哪一个自变量求偏导数，是先把其他自变量看作常数，从而变成一元函数的求导问题。因此有关求导的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用。