复合函数微分法

castelu

　　设函数
$$x=\phi(s,t)与y=\psi(s,t)$$
　　定义在$st$平面的区域$D$上，函数
$$z=f(x,y)$$
　　定义在$xy$平面的区域$D_1$上，且
$$\left\{(x,y)|x=\phi(s,t),y=\psi(s,t),(s,t) \in D \right\} \subset D_1，$$
　　则函数
$$z=F(s,t)=f(\phi(s,t),\psi(s,t))，(s,t) \in D$$
　　是以$z$为外函数，$x$、$y$为内函数的复合函数。其中$x$，$y$称为函数$F$的中间变量，$s$，$t$为函数的自变量。

定理　若函数$x=\phi(s,t)$，$y=\psi(s,t)$在点$(s,t) \in D$可微，$z=f(x,y)$在点$(x,y)=(\phi(s,t),\psi(s,t))$可微，则复合函数
$$z=f(\phi(s,t),\psi(s,t))$$
　　在点$(s,t)$可微，且它关于$s$与$t$的偏导数分别为
$$\frac{\partial z}{\partial s}|_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial s}|_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial s}|_{(s,t)}，$$$$\frac{\partial z}{\partial t}|_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial t}|_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial t}|_{(s,t)}。$$
　　这里公式也称为链式法则。

注意　如果只是求复合函数$f(\phi(s,t),\psi(s,t))$关于$s$或$t$的偏导数，则定理中$x=\phi(s,t)$和$y=\psi(s,t)$只须具有关于$s$或$t$的偏导数就够了。

　　一般地，若$f(u_1,\cdots,u_m)$在点$(u_1,\cdots,u_m)$可微，$u_k=g_k(x_1,\cdots,x_n)$（$k=1,2,\cdots,m$），在点$(x_1,\cdots,x_n)$具有关于$x_i$（$i=1,2,\cdots,n$）的偏导数，则复合函数
$$f(g_1(x_1,\cdots,x_n),g_2(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n))$$
　　关于自变量$x_i$的偏导数是
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial u_k} \frac{\partial u_k}{\partial x_i}（i=1,2,\cdots,n）。$$
　　多元函数的复合函数求导一般比较复杂，必须特别注意复合函数中哪些是自变量，哪些是中间变量。只有这样才能正确使用链式法则求出结果。
　　若以$x$和$y$为自变量的函数$z=f(x,y)$可微，则其全微分为
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy。$$
　　如果$x$，$y$作为中间变量又是自变量$s$，$t$的可微函数
$$x=\phi(s,t)，y=\psi(s,t)，$$
　　由定理知道，复合函数$z=f(\phi(s,t),\psi(s,t))$是可微的，其全微分为
$$dz=\frac{\partial z}{\partial s}ds+\frac{\partial z}{\partial t}dt$$
$$=(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s})ds+(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t})dt$$
$$=\frac{\partial z}{\partial x}(\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt)+\frac{\partial z}{\partial y}(\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt)。$$
　　由于$x$，$y$又是$(s,t)$的可微函数，因此同时有
$$dx=\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt，dy=\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt。$$
　　代入上式，得到与以$x$和$y$为自变量的函数$z=f(x,y)$全微分完全相同的结果。这就是关于多元函数的一阶（全）微分形式不变性。
　　必须指出，当$x$，$y$作为自变量时，$dx$和$dy$各自独立取值；当$x$，$y$作为中间变量时，$dx$和$dy$如上式所示，它们的值由$s$，$t$，$ds$，$dt$所确定。
　　利用微分形式不变性，能更有条理地计算复杂函数的全微分。