梯度

castelu

定义　若$f(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$存在对所有自变量的偏导数，则称向量$(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))$为函数$f$在点$P_0$的梯度，记作
$${\rm grad} f=(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))。$$

　　向量${\rm grad} f$的长度（或模）为
$$|{\rm grad} f|=\sqrt{f_x(P_0)^2+f_y(P_0)^2+f_z(P_0)^2}。$$
　　若函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$可微，则$f$在点$P_0$处沿任一方向$l$的方向导数都存在，若记$l$方向上的单位向量为
$$l_0=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)。$$
　　于是方向导数公式又可写成
$$f_l(P_0)={\rm grad} f(P_0) \cdot l_0=|{\rm grad} f(P_0)|\cos \theta。$$
　　这里$\theta$是梯度向量${\rm grad} f(P_0)$与$l_0$的夹角。因此当$\theta=0$时，$f_l(P_0)$取得最大值$|{\rm grad} f(P_0)|$。这就是说，当$f$在$P_0$可微时，$f$在$P_0$的梯度方向是$f$的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模；而当$l$与梯度向量反方向（$\theta=\pi$）时，方向导数取得最小值$-|{\rm grad} f(P_0)|$。