Stokes公式

castelu

　　Stokes公式是建立沿空间双侧曲面$S$的积分与沿$S$的边界曲线$L$的积分之间的联系。
　　在讲下述定理之前，先对双侧曲面$S$的侧与其边界曲线$L$的方向作如下规定：设有人站在$S$上指定的一侧，若沿$L$行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线$L$的正向；若沿$L$行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线$L$的负向，这个规定方法也称为右手法则。

定理　设光滑曲面$S$的边界$L$是按段光滑的连续曲线。若函数$P$、$Q$、$R$在$S$（连同$L$）上连续，且有一阶连续偏导数，则

$$\iint\limits_S (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdz+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
$$=\oint_L Pdx+Qdy+Rdz，$$
　　其中$S$的侧为$L$的方向按右手法则确定。
　　如果曲面$S$不能以$z=z(x,y)$的形式给出，则可用一些光滑曲线把$S$分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而此时上式也能成立。
　　公式称为Stokes公式。

　　为了便于记忆，Stokes公式也常写成如下形式：
$$\iint\limits_S\left| {\begin{array}{*{20}{c}} dydz&dzdx&dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{array}} \right|=\oint_L Pdx+Qdy+Rdz。$$