梯度场

castelu

　　我们已经介绍了梯度的概念，它是由数量函数$u(x,y,z)$所定义的向量函数
$${\rm grad} u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})，$$
而且${\rm grad} u$的方向就是使$\frac{\partial u}{\partial l}$达到最大值的方向，它的大小就是$u$在这个方向上的方向导数。因此我们可以定义数量场$u$在点$M$处的梯度${\rm grad} u$为这样的向量，它的方向是在$M$处最大的方向导数的方向，而它的大小是在$M$处最大方向导数值。由于方向导数定义与坐标选取无关，因此梯度定义也是与坐标选取无关的向量。由梯度给出的向量场，称为梯度场。
　　又因为数量场$u(x,y,z)$的等值面$u(x,y,z)=c$的法线方向为
$$(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})，$$
所以${\rm grad} u$的方向与等值面正交，即等值面的法线方向。
　　引进符号向量
$$\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})。$$
当把它作为运算符号来看待时，梯度可写作
$${\rm grad} u=\nabla u。$$

　　关于梯度，有以下一些基本性质：
1、若$u$，$v$是数量函数，则
$$\nabla (u+v)=\nabla u +\nabla v。$$
2、若$u$，$v$是数量函数，则
$$\nabla (u \cdot v)=u(\nabla v) +(\nabla u)v。$$
特别地有
$$\nabla u^2=2u(\nabla u)。$$
3、若$r=(x,y,z)$，$\phi=\phi(x,y,z)$，则
$$d\phi=dr \cdot \nabla \phi。$$
4、若$f=f(u)$，$u=u(x,y,z)$，则
$$\nabla f=f'(u) \nabla u。$$
5、若$f=f(u_1,u_2,\cdots,u_m)$，$u_i=u_i(x,y,z)$（$i=1,2,\cdots,m$），则
$$\nabla f=\sum\limits_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial u_i} \nabla u_i。$$