一元多项式

castelu

　　在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域$P$作为基础。设$x$是一个符号（或称文字），我们有

定义1　设$n$是一个非负整数。形式表达式
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0，$$
　　其中$a_0$，$a_1$，$\cdots$，$a_n$全属于数域$P$，称为系数在数域$P$中的一元多项式，或者简称为数域$P$上的一元多项式。

　　在多项式中，$a_ix^i$称为$i$次项，$a_i$称为$i$次项的系数。以后我们用$f(x)$，$g(x)$，$\cdots$或$f$，$g$，$\cdots$等来代表多项式。
　　注意，我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式。当这符号是未知数时，它是代数中的多项式。看应用需要，这个符号还可代表其他待定事物。为了能统一研究未知数和其他待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表达式。并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律，统一研究以得到它们普遍的公共的性质。

定义2　如果在多项式$f(x)$与$g(x)$中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么$f(x)$与$g(x)$就称为相等，记为
$$f(x)=g(x)。$$
　　系数全为零的多项式称为零多项式，记为$0$。

　　在
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
　　中，如果$a_n \ne 0$，那么$a_nx^n$称为多项式的首项，$a_n$称为首项系数，$n$称为多项式的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式$f(x)$的次数记为
$$\partial (f(x))。$$
　　我们对形式表达式
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
　　可引入相加、相减、相乘这些运算，为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式。
　　设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0，$$
$$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0$$
　　是数域$P$上两个多项式。那么可以写成
$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i，$$
$$g(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_ix^i$$
　　在表示多项式$f(x)$与$g(x)$的和时，如$n \ge m$，为了方便起见，在$g(x)$中令$b_n=b_{n-1}=\cdots=b_{m+1}=0$。那么$f(x)$与$g(x)$的和为
$$f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(a_1+b_1)x+a_0+b_0$$
$$=\sum\limits_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i。$$
　　而$f(x)$与$g(x)$的乘积为
$$f(x) \cdot g(x)=a_nb_mx^{n+m}+(a_nb_{m-1}+a_{n-1}b_m)x^{n+m-1}+\cdots+(a_1b_0+a_0b_1)x+a_0b_0，$$
　　其中$s$次项的系数是
$$a_sb_0+a_{s-1}b_1+\cdots+a_1b_{s-1}+a_0b_s=\sum\limits_{i+j=s} a_ib_j。$$
　　所以$f(x)g(x)$可表成
$$f(x)g(x)=\sum\limits_{s=0}^{m+n} (\sum\limits_{i+j=s} a_ib_j)x^s。$$
　　显然，数域$P$上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域$P$上的多项式。
　　对于多项式的加减法，不难看出
$$\partial (f(x) \pm g(x)) \le \max\limits (\partial (f(x)),\partial (g(x)))。$$
　　对于多项式的乘法，可以证明，如果$f(x) \ne 0$，$g(x) \ne 0$，那么$f(x)g(x) \ne 0$，并且
$$\partial (f(x)g(x))=\partial (f(x))+\partial (g(x))。$$
　　事实上，设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0，$$
$$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0，$$
其中$a_n \ne 0$，$b_m \ne 0$，于是$f(x)g(x)$的首项是
$$a_nb_mx^{n+m}。$$
显然$a_nb_m \ne 0$，因之，$f(x)g(x) \ne 0$而且它的次数就是$n+m$。
　　由以上证明还看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。
　　显然，上面得出的结论都可以推广到多个多项式的情形。

　　和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律。
1、加法交换律：
$$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)。$$
2、加法结合律：
$$(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))。$$
3、乘法交换律：
$$f(x)g(x)=g(x)f(x)。$$
4、乘法结合律：
$$(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))。$$
5、乘法对加法的分配律：
$$f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)。$$
6、乘法消去律：
　　如果$f(x)g(x)=f(x)h(x)$且$f(x) \ne 0$，那么
$$g(x)=h(x)。$$

　　最后我们引入

定义3　所有系数在数域$P$中的一元多项式的全体，称为数域$P$上的一元多项式环，记为$P[x]$，$P$称为$P[x]$的系数域。