多元多项式

castelu

　　设$P$是一个数域，$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$是$n$个文字。形式为
$$ax_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}$$
　　的式子，其中$a$属于$P$，$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n$是非负整数，称为一个单项式。
　　如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和
$$\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n} a_{k_1k_2 \cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}$$
　　就称为$n$元多项式，或者简称多项式。

定理1　所有系数在数域$P$中的$n$元多项式的全体，称为数域$P$上的$n$元多项式环，记为
$$P[x_1,x_2,\cdots,x_n]。$$
　　$k_1+k_2+\cdots+k_n$称为单项式。
$$ax_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}$$
　　的次数。当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数。

　　我们对于多元多项式引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。
　　每一类单项式
$$ax_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}$$
　　都对应一个$n$元数组
$$(k_1,k_2,\cdots,k_n)，$$
　　其中$k_i$为非负整数。这个对应是$1-1$的。为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对于$n$元数组定义一个先后顺序就行了。
　　如果数
$$k_1-l_1，k_2-l_2，\cdots，k_n-l_n$$
　　中第一个不为零的数是正的，也就是说，有$i \le n$使
$$k_1-l_1=0，\cdots，k_{i-1}-l_{i-1}=0，k_i-l_i=0，$$
　　那么，我们就称$n$元数组
$$(k_1,k_2,\cdots,k_n)$$
　　先于$n$元数组
$$(l_1,l_2,\cdots,l_n)，$$
　　并记为
$$(k_1,k_2,\cdots,k_n)>(l_1,l_2,\cdots,l_n)。$$
　　由定义立即看出，对于任意两个$n$元数组，关系
$$(k_1,k_2,\cdots,k_n)>(l_1,l_2,\cdots,l_n)，$$
$$(k_1,k_2,\cdots,k_n)=(l_1,l_2,\cdots,l_n)，$$
$$(l_1,l_2,\cdots,l_n)>(k_1,k_2,\cdots,k_n)$$
　　中有一个且仅有一个成立。同时，关系“$>$”具有传递性，即，如果
$$(k_1,k_2,\cdots,k_n)>(l_1,l_2,\cdots,l_n)，$$
$$(l_1,l_2,\cdots,l_n)>(m_1,m_2,\cdots,m_n)，$$
　　那么$(k_1,k_2,\cdots,k_n)>(m_1,m_2,\cdots,m_n)$。事实上，由$k_i-m_i=(k_i-l_i)+(l_i-m_i)$即得上面的结论。因之，这样的确给出了$n$元数组之间的一个顺序。相应地，单项式之间也有了一个先后顺序。
　　按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项。

定理2　当$f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \ne 0$，$g(x_1,x_2,\cdots,x_n) \ne 0$时乘积$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的首项等于$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的首项与$g(x_1,x_2,\cdots,x_n$的首项的乘积。

推论1　如果$f_i \ne 0$，$i=1,2,\cdots,m$，那么$f_1f_2 \cdots f_m$的首项等于每个$f_i$的首项等于每个$f_i$的首项的乘积。

推论2　如果$f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \ne 0$，$g(x_1,x_2,\cdots,x_n) \ne 0$那么
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n) \ne 0。$$

　　多项式
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n} a_{k_1k_2 \cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}$$
　　称为$m$次齐次多项式，如果其中每个单项式全是$m$次的。
　　显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。
　　任何一个$m$次多项式$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$都可以唯一地表示成
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=0}^m f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)，$$
　　其中$f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是$i$次齐次多项式。$f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$称为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的$i$次齐次成分。
　　如果
$$g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=0}^l g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　是一个$l$次多项式，那么乘积
$h(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的$k$次齐次成分$h_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为
$$h_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i+j=k} f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)，$$
　　特别地，$h(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的最高次齐次成分为
$$f_{m+l}(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)。$$
　　由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于因子次数的和。
　　多元多项式也可以看作函数的表达式。设
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n} a_{k_1k_2 \cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}，$$
　　并设$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$是数域$P$中的数，我们称
$$f(c_1,c_2,\cdots,c_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n} a_{k_1k_2 \cdots k_n}c_1^{k_1}c_2^{k_2} \cdots c_n^(k_n)$$
　　为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$在$x_1=c_1$，$x_2=c_2$，$\cdots$，$x_n=c_n$处的值。显然，当
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)+g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=h(x_1,x_2,\cdots,x_n)，$$
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=p(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　时，我们有
$$f(c_1,c_2,\cdots,c_n)+g(c_1,c_2,\cdots,c_n)=h(c_1,c_2,\cdots,c_n)，$$
$$f(c_1,c_2,\cdots,c_n)g(c_1,c_2,\cdots,c_n)=p(c_1,c_2,\cdots,c_n)。$$