消元法

castelu

　　所谓一般线性方程组是指形式为
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
的方程组，其中$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$代表$n$个未知量，$s$是方程的个数，$a_{ij}$（$i=1,2,\cdots,s,j=1,2,\cdots,n$）称为方程组的系数，$b_j$（$j=1,2,\cdots,s$）称为常数项。方程组中未知量的个数$n$与方程的个数$s$不一定相等。系数$a_(ij)$的第一个指标$i$表示它在第$i$个方程，第二个指标$j$表示它是$x_j$的系数。
　　所谓方程组的一个解就是指由$n$个数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n$组成的有序数组（$k_1,k_2,\cdots,k_n$），当$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$分别用$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n$代入后，方程组中每个等式都变成恒等式。方程组的解的全体称为它的解集合。解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。
　　显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了。确切地说，线性方程组可以用下面的矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}&b_s \end{array}} \right) $$
　　来表示。实际上，有了上述矩阵，除去代表未知量的文字外，线性方程组就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
　　分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1、用一非零的数乘某一方程；
2、把一个方程的倍数加到另一个方程；
3、互换两个方程的位置。
　　于是，我们给出：

定义　变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。

　　消元的过程就是反复施行初等变换的过程，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。
　　下面我们来说明，如果利用初等变换来解一般的线性方程组。
　　对于方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. ，$$
　　首先检查$x_1$的系数$a_{11}$，$a_{21}$，$\cdots$，$a_{s1}$全为零，那么方程组对$x_1$没有任何限制，$x_1$就可以取任意值，而方程组可以看作$x_2$，$\cdots$，$x_n$的方程组来解。如果$x_1$的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设$a_{11} \ne 0$。利用初等边换2，分别地把第一个方程的$\frac{a_{i1}}{a_{11}}$倍加到第$i$个方程（$i=1,2,\cdots,s$）。于是方程组就变成
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a'_{22}x_2+ \cdots+a'_{2n}x_n=b'_2\\ \cdots\\ a'_{s2}x_2+ \cdots+a'_{sn}x_n=b'_s \end{array} \right. ，$$
　　其中
$$a'_{ij}=a_{ij}-\frac{a_{i1}}{a_{11}} \cdot a_{1j}，i=2,\cdots,s,j=2,\cdots,n。$$
　　这样，解方程组的问题就归结为解方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a'_{22}x_2+ \cdots+a'_{2n}x_n=b'_2\\ \cdots\\ a'_{s2}x_2+ \cdots+a'_{sn}x_n=b'_s \end{array} \right. $$
　　的问题。显然，方程组的一个解，代入原方程组的第一个方程就定出$x_1$的值，这就得出原方程组的一个解；而原方程组的解显然都是方程组的解。这就是说，原方程组有解的充分必要条件为方程组有解，而原方程组与方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+ \cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　是同解的，因之，上述方程组有解的充分必要条件为方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a'_{22}x_2+ \cdots+a'_{2n}x_n=b'_2\\ \cdots\\ a'_{s2}x_2+ \cdots+a'_{sn}x_n=b'_s \end{array} \right.$$
　　有解。
　　对上述方程组再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组。为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
$$ \left\{ \begin{array}{l} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1r}x_r+\cdots+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+\cdots+c_{2r}x_r+\cdots+c_{2n}x_n=d_2\\ \cdots\\ c_{rr}x_r+\cdots+c_{rn}x_n=d_r\\ 0=d_{r+1}\\ 0=0\\ \cdots\\ 0=0 \end{array} \right. $$
　　其中$c_{ii} \ne 0$，$i=1,2,\cdots,r$。上述方程组中的“$0=0$”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响方程组的解。而且方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+ \cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　与方程组是同解的。
　　现在考察方程组的解的情况。
　　如方程组中有方程$0=d_{r+1}$，而$d_{r+1} \ne 0$。这时不管$x_1$，$\cdots$，$x_n$取什么值都不能使它成为等式。故方程组无解，因而
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+ \cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right.$$
无解。
　　当$d_{r+1}$是零或方程组中根本没有“$0=0$”的方程时，分两种情况：
1、$r=n$。这时阶梯形方程组为
$$ \left\{ \begin{array}{l} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+\cdots+c_{2n}x_n=d_2\\ \cdots\\ c_{nn}x_n=d_n \end{array} \right.$$
　　其中$c_{ii} \ne 0$，$i=1,2,\cdots,n$。由最后一个方程开始，$x_n$，$x_{n-1}$，$\cdots$，$x_1$的值就可以逐个地唯一地决定了。在这个情形，上述方程组，也就是方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+ \cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　有唯一的解。
2、$r<n$。这时阶梯形方程组为
$$ \left\{ \begin{array}{l} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1r}x_r+c_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+\cdots+c_{2r}x_r+c_{2,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{2n}x_n=d_2\\ \cdots\\ c_{rr}x_r+c_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{rn}x_n=d_r \end{array} \right. $$
　　其中$c_{ii} \ne 0$，$i=1,2,\cdots,r$。把它改写成
$$ \left\{ \begin{array}{l} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1r}x_r=d_1-c_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-c_{1n}x_n\\ c_{22}x_2+\cdots+c_{2r}x_r=d_2-c_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-c_{2n}x_n\\ \cdots\\ c_{rr}x_r=d_r-c_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots-c_{rn}x_n \end{array} \right.$$
　　由此可见，任给$x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$一组值，就唯一地定出$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_r$的值，也就是定出上述方程组的一个解。一般地，由上述方程组我们可以把$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_r$通过$x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$表示出来，这样一组表达式称为方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+ \cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
的一般解，而$x_{r+1}$，$\cdots$，$x_n$称为一组自由未知量。
　　应该看到，$r>n$的情形是不可能出现的。
　　以上就是用消元法解线性方程组的整个过程。总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“$0=0$”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数$r$等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数$r$小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解。
　　把以上结果应用到齐次线性方程组，就有

定理　在齐次线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+ \cdots+a_{sn}x_n=0 \end{array} \right. $$
中，如果$s<n$，那么它必有非零解。

　　矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}&b_s \end{array}} \right) $$
　　称为线性方程组的增广矩阵。显然，用初等变换化方程组成阶梯形就相当于用初等变换化增广矩阵成阶梯形矩阵。因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判断方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。