线性相关性

castelu

　　两个向量之间最简单的关系是成比例。所谓向量$\alpha$与$\beta$成比例就是说有一数$k$使
$$\alpha=k\beta。$$
　　在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合。

定义1　向量$\alpha$称为向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$的一个线性组合，如果有数域$P$中的数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_s$，使
$$\alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_s\beta_s。$$

　　又如，任一个$n$维向量$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$都是向量组
$$ \left\{ \begin{array}{l} \epsilon_1=(1,0,\cdots,0)\\ \epsilon_2=(0,1,\cdots,0)\\ \cdots\\ \epsilon_n=(0,0,\cdots,1) \end{array} \right. $$
　　的一个线性组合。因为
$$\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+\cdots+a_n\epsilon_n。$$
　　向量$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$称为$n$维单位向量。
　　由定义可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为$0$就行了）。
　　当向量$\alpha$是向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$的一个线性组合时，我们也说$\alpha$可以经向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出。

定义2　如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$中每一个向量$\alpha_i$（$i=1,2,\cdots,t$）都可以经向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出，那么向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$就称为可以经向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出。如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。

　　由定义不难证明，每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$可以经向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出，向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$可以经向量组$\gamma_1$，$\gamma_2$，$\cdots$，$\gamma_p$线性表出，那么向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$可以经向量组$\gamma_1$，$\gamma_2$，$\cdots$，$\gamma_p$线性表出。

　　由上述的结论，得知向量组之间的等价有以下性质：
1、反身性：每一个向量组都与它自身等价。
2、对称性：如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$与$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$等价，那么向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_t$也与$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$等价。
3、传递性：如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$与$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$等价，$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$与$\gamma_1$，$\gamma_2$，$\cdots$，$\gamma_p$等价，那么向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_t$与$\gamma_1$，$\gamma_2$，$\cdots$，$\gamma_p$等价。

定义3　如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$（$s \ge 2$）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$称为线性相关的。

　　从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。还可看出，向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$线性相关就表示$\alpha_1=k\alpha_2$或者$\alpha_2=k\alpha_1$（这两个式子不一定能同时成立）。在$P$为实数域，并且是三维的情形，这就表示向量$\alpha_1$与$\alpha_2$共线。三个向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$线性相关的几何意义就是它们共面，因为由定义，其中一个向量是另外两个的线性组合，譬如
$$\alpha_1=k\alpha_2+l\alpha_3，$$
　　这就是说，$\alpha_1$在$\alpha_2$与$\alpha_3$所在的平面上。
　　向量组的线性相关性的定义还可以用另一个说法：

定义3'　向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$（$s \ge 1$）称为线性相关，如果有数域$P$中不全为零的数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_s$，使
$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0。$$

　　这两个定义在$s \ge 2$的时候是一致的。

定义4　一向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$（$s \ge 1$）不线性相关，即没有不全为零的数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_s$使
$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0，$$
　　就称为线性无关；或者说，一向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$称为线性无关，如果由
$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$$
　　可以推出
$$k_1=k_2=\cdots=k_s=0。$$

　　由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关。
　　换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的。所以，线性无关的向量组一定不能包含两个成比例的向量。
　　定义4包含了由一个向量构成的向量组的情形。按定义，向量组$\alpha$线性相关就表示有$k !=0$（因为只有一个数，所以不全为零就是它不等于零）使
$$k\alpha=0。$$
　　由数乘的性质推知$\alpha=0$。因此，向量组$\alpha$线性相关就表示$\alpha=0$。
　　不难看出，由$n$维单位向量$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$组成的向量组是线性无关的。
　　具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题。
　　一般地，要判断一个向量组
$$\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})，i=1,2,\cdots,s$$
　　是否线性相关，根据定义4，就是看方程
$$x_1\alpha_+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s=0$$
　　有无非零解。上式按分量写出来就是
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots+a_{s1}x_s=0\\ a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{s2}x_s=0\\ \cdots\\ a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+\cdots+a_{sn}x_s=0 \end{array} \right. $$
　　因之，向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解。
　　从这里很容易看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的$n+1$维的向量组
$$\beta_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{i n},a_{i,n+1})，i=1,2,\cdots,s$$
　　也线性无关。
　　这个结果当然可以推广到添几个分量的情形。
　　利用齐次线性方程组有非零解的条件，即得向量组的一个基本性质。

定理1　设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$与$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$是两个向量组。如果
1、向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$可以经$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$，线性表出，
2、$r>s$，
　　那么向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$必线性相关。

　　把定理1换个说法，即得：

推论1　如果向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$可以经向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_s$线性表出，且$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$线性无关，那么$r \le s$。

　　直接应用定理1，即得：

推论2　任意$n+1$个$n$维向量必线性相关。

　　事实上，每个$n$维向量都可以被$n$维单位向量$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$线性表出，且$n+1>n$，因而必线性相关。
　　由推论1，得

推论3　两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。

　　定理1的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果$s=2$，那么可以由向量$\beta_1$，$\beta_2$线性表出的向量当然都在$\beta_1$，$\beta_2$所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是，当$r>2$时，这些向量线性相关。两个向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$与$\beta_1$，$\beta_2$等价，就意味着它们在同一平面上。

定义5　一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关。

　　应该看到，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身。
　　极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。虽然极大线性无关组可以有很多，但是由定理1的推论3，立即得出

定理2　一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

　　定理2表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质。因此，我们有

定义6　向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

　　因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。
　　我们知道，每一向量组都与它的极大线性无关组等价。由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价。所以，等价的向量组必有相同的秩。
　　还要指出：含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组。全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组。我们规定这样的向量组的秩为零。
　　现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=d_1(A_1)\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=d_2(A_2)\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=d_s(A_s) \end{array} \right. $$
　　各个方程所对应的向量分别是$\alpha_1=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},d_1)$，$\alpha_2=(a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n},d_2)$，$\cdots$，$\alpha_s=(a_{s1},a_{s2},\cdots,a_{sn},d_s)$。设有另一方程
$$b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n=d，$$
　　它对应的向量为$\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n,d)$。则$\beta$是$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$的线性组合，$\beta=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\cdots+l_s\alpha_s$当且仅当$B=l_1(A_1)+l_2(A_2)+\cdots+l_s(A_s)$，即方程$(B)$是方程$(A_1)$，$(A_2)$，$\cdots$，$(A_s)$的线性组合。容易验证，方程组$(A_1)$，$\cdots$，$(A_s)$的解一定满足$(B)$。进一步设方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} b_{11}x_1+b_{12}x_2+\cdots+b_{1n}x_n=c_1(B_1)\\ b_{21}x_1+b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=c_2(B_2)\\ \cdots\\ b_{s1}x_1+b_{s2}x_2+\cdots+b_{sn}x_n=c_s(B_s) \end{array} \right. $$
　　它的方程所对应的向量为$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_r$。若$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_r$可经$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$线性表出，则方程组$(A_1)$，$(A_2)$，$\cdots$，$(A_s)$的解是方程组$(B_1)$，$(B_2)$，$\cdots$，$(B_r)$的解。再进一步，当$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_s$与$\beta_1$，$\beta_2$，$\cdots$，$\beta_r$等价时，两个方程组同解。