线性方程组有解判别定理

castelu

　　设线性方程组为
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　引入向量
$$\alpha_1= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{s1} \end{array}} \right) ，\alpha_2= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{s2} \end{array}} \right) ，\cdots，\alpha_n= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{sn} \end{array}} \right) ，\beta= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_s \end{array}} \right) ，$$
　　于是线性方程组可以改写成向量方程
$$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta。$$
　　显然，线性方程组有解的充分必要条件为向量$\beta$可以表成向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$的线性组合。用秩的概念，方程组有解的条件可以叙述如下：

定理（线性方程组有解判定定理）　线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right) $$
　　与增广矩阵
$$\overline A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}&b_s \end{array}} \right) $$
　　有相同的秩。

　　应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的。
　　根据Cramer法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法。这个解法有时在理论上是有用的。
　　设线性方程组有解，矩阵$A$与$\overline A$的秩都等于$r$，而$D$是矩阵$A$的一个不为零的$r$级子式（当然它也是$\overline A$的一个不为零的子式），为了方便起见，无妨设$D$位于$A$的左上角。
　　显然，在这种情况下，$\overline A$的前$r$行就是一个极大线性无关组，第$r+1$，$\cdots$，$s$行都可以经它们线性表出。因此方程组与
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+\cdots+a_{1r}x_r+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2r}x_r+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+\cdots+a_{rr}x_r+\cdots+a_{rn}x_n=b_r \end{array} \right. $$
　　同解。
　　当$r=n$时，由Cramer法则，上述方程组有唯一解，也就是方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　有唯一解。
　　当$r<n$时，将上述方程组改写为
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+\cdots+a_{1r}x_r=b_1-a_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2r}x_r=b_2-a_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{2n}x_n\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+\cdots+a_{rr}x_r=b_r-a_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{rn}x_n \end{array} \right. $$
　　作为$x_1$，$\cdots$，$x_r$的一个方程组，它的系数行列式$D \ne 0$。由Cramer法则，对于$x_{n+1}$，$\cdots$，$x_n$的任意一组值，上述方程组，也就是方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. ，$$
　　都有唯一的解。$x_{n+1}$，$\cdots$，$x_n$就是方程组的一组自由未知量。对上述方程组用Cramer法则，可以解出$x_1$，$\cdots$，$x_r$：
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=d'_1+c'_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+c'_{1n}x_n\\ \cdots\\ x_r=d'_r+c'_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+c'_{rn}x_n \end{array} \right. $$
　　就是方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{array} \right. $$
　　的一般解。