二元高次方程组

castelu

引理　设
$$f(x)=a_0x^n+a_1x_{n-1}+\cdots+a_n，$$
$$g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$$
　　是数域$P$上的两个非零的多项式，它们的系数$a_0$，$b_0$不全为零。于是$f(x)$与$g(x)$在$P[x]$中有非常数的公因式的充分必要条件是，在$P[x]$中存在非零的次数小于$m$的多项式$u(x)$与次数小于$n$的多项式$v(x)$，使
$$u(x)f(x)=v(x)g(x)。$$

　　下面再来把引理中的条件改变一下。令
$$u(x)=u_0x^{m-1}+u_1x^{m-2}+\cdots+u_{m-1}，$$
$$v(x)=v_0x^{n-1}+v_1x^{n-2}+\cdots+v_{n-1}。$$
　　由多项式相等的定义，等式
$$u(x)f(x)=v(x)g(x)$$
　　就是左右两端对应系数相等，即
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_0u_0=b_0v_0\\ a_1u_0+a_0u_1=b_1v_0+b_0v_1\\ a_2u_0+a_1u_1+a_0u_2=b_2v_0+b_1v_1+b_0v_2\\ \cdots\\ a_n u_{m-2}+a_{n-1}u_{m-1}=b_mv_{n-2}+b_{m-1}v_{n-1}\\ a_n u_{m-1}=b_mv_{n-1} \end{array} \right. $$
　　如果把上式看成一个关于未知量$u_0$，$u_1$，$\cdots$，$u_{m-1}$，$v_0$，$v_1$，$\cdots$，$v_{n-1}$的方程组，那么它是一个含$m+n$个未知量，$m+n$个方程的齐次线性方程组。显然，引理中大条件：“在$P[x]$中存在非零的次数小于$m$的多项式$u(x)$与次数小于$n$的多项式$v(x)$，使$u(x)f(x)=v(x)g(x)$成立”就相当于说，齐次线性方程组有非零解。
　　我们知道，齐此线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于零。
　　把线性方程组的系数矩阵的行列互换，再把后边的$n$行反号，取行列式就得
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_0&a_1&a_2&\cdots&a_n&&\\ &a_0&a_1&\cdots&&a_n&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&a_0&a_1&\cdots&a_n\\ b_0&b_1&b_2&\cdots&b_m&&\\ &b_0&b_1&\cdots&&b_m&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&b_0&b_1&\cdots&b_m \end{array}} \right|$$
　　对任意多项式
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n，$$
$$g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$$
（它们可以为零多项式），我们称上面的行列式为它们的结式，记为$R(f,g)$。综合以上分析，就可证明

定理1　设
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n，$$
$$g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$$
　　是$P[x]$中两个多项式，$m$，$n>0$，于是它们的结式$R(f,g)=0$的充分必要条件是$f(x)$与$g(x)$在$P[x]$中有非常数的公因式或者它们的第一个系数$a_0$，$b_0$全为零。

　　当$P$是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的。因此对复数域上多项式$f(x)$，$g(x)$，$R(f,g)=0$的充分必要条件为$f(x)$，$g(x)$在复数域中有公共根或它们的第一个系数全为零。
　　结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法。设$f(x,y)$，$g(x,y)$是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x,y)=0\\ g(x,y)=0 \end{array} \right.$$
　　在复数域中的全部解。$f(x,y)$与$g(x,y)$可以写成
$$f(x,y)=a_0(y)x^n+a_1(y)x^{n-1}+\cdots+a_n(y)，$$
$$g(x,y)=b_0(y)x^m+b_1(y)x^{m-1}+\cdots+b_m(y)$$
　　其中$a_i(y)$，$b_i(y)$，$i=0,1,\cdots,n$，$j=0,1,\cdots,m$是$y$的多项式。把$f(x,y)$与$g(x,y)$看作是$x$的多项式，令
$$R_x(f,g)= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_0(y)&a_1(y)&a_2(y)&\cdots&a_n(y)&&\\ &a_0(y)&a_1(y)&\cdots&&a_n(y)&\\ &&&&&\cdots&\\ &&&a_0(y)&a_1(y)&\cdots&a_n(y)\\ b_0(y)&b_1(y)&b_2(y)&\cdots&b_m(y)&&\\ &b_0(y)&b_1(y)&\cdots&\cdots&b_m(y)&\\ &&&&&\cdots&\\ &&&b_0(y)&b_1(y)&\cdots&b_m(y) \end{array}} \right| ，$$
　　这是一个$y$的复系数多项式。
　　由定理1即得下面定理：

定理2　如果$(x_0,y_0)$是方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x,y)=0\\ g(x,y)=0 \end{array} \right. $$
的一个复数解，那么$y_0$就是$R_x(f,g)$的一个根；反过来，如果$y_0$是$R_x(f,g)$的一个根，那么$a_0(y_0)=b_0(y_0)=0$，或者存在一个复数$x_0$，使$(x_0,y_0)$是方程组的一个解。

　　由此可知，为了解方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} f(x,y)=0\\ g(x,y)=0 \end{array} \right. ，$$
我们先求高次方程$R_x(f,g)=0$的全部根，把$R_x(f,g)=0$的每个根代入方程组，再求$x$的值。这样，我们就得到方程组的全部解。
　　与一元方程相仿，方程组
$$\left\{ \begin{array}{l} f(x,y)=0\\ g(x,y)=0 \end{array} \right. $$
的解的个数与多项式$f(x,y)$，$g(x,y)$的次数也有一定的关系。