分块乘法的初等变换

castelu

　　将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段。
　　现将某个单位矩阵如下进行分块：
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} E_m&O\\ O&E_n \end{array}} \right) 。$$
　　对它进行两行（列）对换；某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵$P$；一行（列）加上另一行（列）的$P$（矩阵）倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} O&E_n\\ E_m&O \end{array}} \right) ， \left( {\begin{array}{*{20}{c}} P&O\\ O&E_n \end{array}} \right) ， \left( {\begin{array}{*{20}{c}} E_m&O\\ O&P \end{array}} \right)，$$
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} E_m&P\\ O&E_n \end{array}} \right) ， \left( {\begin{array}{*{20}{c}} E_m&O\\ P&E_n \end{array}} \right) 。$$
　　和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵去左乘任一个分块矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C&D \end{array}} \right) ，$$
　　只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} O&E_m\\ E_n&O \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C&D \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} C&D\\ A&B \end{array}} \right) ，$$
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} P&O\\ O&E_n \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C&D \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} PA&PB\\ C&D \end{array}} \right) ，$$
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} E_m&O\\ P&E_n \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C&D \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C+PA&D+PB \end{array}} \right) 。$$
　　同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果。