λ-矩阵的标准形

castelu

　　$\lambda$-矩阵也可以有初等变换。

定义1　下面的三种变换叫做$\lambda$-矩阵的初等变换：
（1）矩阵的两行（列）互换位置；
（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数$c$；
（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的$\phi(\lambda)$倍，$\phi(\lambda)$是一个多项式。

　　和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵。例如，将单位矩阵的第$j$行的$\phi(\lambda)$倍加到第$i$行上得
$$P(i,j(\phi))= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&\cdots&\phi(\lambda)&&\\ &&&\ddots&\vdots&&\\ &&&&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1 \end{array}} \right) $$
　　仍用$P(i,j)$表示由单位矩阵经过第$i$行第$j$行互换位置所得的初等矩阵，用$P(i(c))$表示用非零常数$c$乘单位矩阵第$i$行所得的初等矩阵。同样地，对一个$s \times n$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$作一次初等行变换就相当于在$A(\lambda)$的左边乘上相应的$s \times s$初等矩阵；对$A(\lambda)$作一次初等列变换就相当于在$A(\lambda)$的右边乘上相应的$n \times n$的初等矩阵。
　　初等矩阵都是可逆的，并且有
$$P(i,j)^{-1}=P(i,j)，P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1}))，P(i,j(\phi))^{-1}=P(i,j(-\phi))。$$
　　由此得出初等变换具有可逆性：设$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$用初等变换变成$B(\lambda)$，这相当于对$A(\lambda)$左乘或右乘一个初等矩阵。再用此初等矩阵的逆矩阵来乘$B(\lambda)$就变回$A(\lambda)$，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由$B(\lambda)$可用初等变换变回$A(\lambda)$。我们还可看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使$P(i(c))$可逆的缘故。

定义2　$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$称为与$B(\lambda)$等价，如果可以经过一系列初等变换将$A(\lambda)$化为$B(\lambda)$。

　　等价是$\lambda$-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：
（1）反身性：每一个$\lambda$-矩阵与自己等价。
（2）对称性：若$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价，则$B(\lambda)$与$A(\lambda)$等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
（3）传递性：若$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价，$B(\lambda)$与$C(\lambda)$等价，则$A(\lambda)$与$C(\lambda)$等价。

　　应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价的充分必要条件为有一系列初等矩阵$P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_l$，$Q_1$，$Q_2$，$\cdots$，$Q_t$使
$$A(\lambda)=P_1P_2 \cdots P_lB(\lambda)Q_1Q_2 \cdots Q_t。$$

引理　设$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$的左上角元素$a_{11}(\lambda) \ne 0$，并且$A(\lambda)$中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与$A(\lambda)$等价的矩阵$B(\lambda)$，它的左上角元素也不为零，但是次数比$a_{11}(\lambda)$的次数低。

定理　任意一个非零的$s \times n$的$\lambda$-矩阵$A(\lambda)$都等价于下列形式的矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1(\lambda)&&&&&&\\ &d_2(\lambda)&&&&&\\ &&\ddots&&&&\\ &&&d_r(\lambda)&&&\\ &&&&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&0 \end{array}} \right) ，$$
　　其中$r \ge 1$，$d_i(\lambda)$（$i=1,2,\cdots,r$）是首项系数为$1$的多项式，且
$$d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)（i=1,2,\cdots,r-1）。$$
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1(\lambda)&0&\cdots&0\\ 0&d_2(\lambda)&\cdots&0\\ 0&0&&\\ \cdots&\cdots&A_2(\lambda)&\\ 0&0&& \end{array}} \right)，$$
　　其中$d_1(\lambda)$与$d_2(\lambda)$都是首项系数为$1$的多项式（$d_1(\lambda)$与$d_2(\lambda)$只差一个常数倍数），而且$d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda)$，$d_2(\lambda)$能除尽$A_2(\lambda)$的全部元素。

　　这个矩阵称为$A(\lambda)$的标准形。