实对称矩阵的标准形

castelu

　　任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵$C$使$C'AC$成对角形。现在利用欧氏空间的理论，关于实对称矩阵的结果可以加强。
　　对于任意一个$n$级实对称矩阵$A$，都存在一个$n$级正交矩阵$T$，使$T'AT=T^{-1}AT$成对角形。
　　先讨论对称矩阵的一些性质。我们把它们归纳成下面几个引理。

引理1　设$A$是实对称矩阵，则$A$的特征值皆为实数。

　　对应于实对称矩阵$A$，在$n$维欧氏空间$R^n$上定义一个线性变换$\mathcal A$如下：
$$\mathcal A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) =A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right)。$$
　　显然$\mathcal A$在标准正交基
$$\epsilon_1= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}} \right)，\epsilon_2= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{array}} \right) ，\cdots，\epsilon_n= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{array}} \right) $$
　　下的矩阵就是$A$。

引理2　设$A$是实对称矩阵，$\mathcal A$的定义如上，则对任意$\alpha$，$\beta \in R^n$，有
$$(\mathcal A\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal A\beta)，$$
　　或
$$\beta'(A\alpha)=\alpha'A\beta。$$

　　等式$(\mathcal A\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal A\beta)$把实对称矩阵的特性反映到线性变换上。我们引入

定义　欧氏空间中满足等式$(\mathcal A\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal A\beta)$的线性变换称为对称变换。

　　容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚。

引理3　设$\mathcal A$是对称变换，$V_1$是$\mathcal A-$子空间，则$V_1^{\bot}$也是$\mathcal A-$子空间。

引理4　设$A$是实对称矩阵，则$R^n$中属于$A$的不同特征值的特征向量必正交。

定理1　对于任意一个$n$级实对称矩阵$A$，都存在一个$n$级正交矩阵$T$，使$T'AT=T^{-1}AT$成对角形。

　　正交矩阵$T$的求法可以按以下步骤进行：
1、求出$A$的特征值。设$\lambda_1$，$\cdots$，$\lambda_r$是$A$的全部不同的特征值。
2、对于每个$\lambda_i$，解齐次线性方程组
$$(\lambda_i E-A)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right)=0，$$
　　求出一个基础解系，这就是$A$的特征子空间$V_{s_i}$的一组基。由这组基出发，按求欧氏空间的正交基的方法求出$V_{s_i}$的一组标准正交基$\eta_{i1}$，$\cdots$，$\eta_{ik_i}$。
3、因为$\lambda_1$，$\cdots$，$\lambda_r$两两不同，所以根据引理4，向量组$\eta_{11}$，$\cdots$，$\eta_{1k_1}$，$\eta_{r1}$，$\cdots$，$\eta_{rk_r}$还是两两正交的。又根据定理1以及关于对角矩阵的讨论，它们的个数就等于空间的维数。因此，它们就构成$R^n$的一组标准正交基，并且也都是$A$的特征向量。这样，正交矩阵$T$也就求出了。

　　应该指出，在定理1中，对于正交矩阵$T$我们还可以进一步要求
$$|T|=1。$$
　　事实上，如果求得的正交矩阵$T$的行列式为$-1$，那么取
$$S= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -1&&&&\\ &1&&&\\ &&1&&\\ &&&\ddots&\\ &&&&1 \end{array}} \right) 。$$
　　那么$T_1=TS$是正交矩阵，而且
$$|T_1|=|T||S|=1。$$
　　显然$T_1'AT_1=T'AT$。
　　如果线性替换
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{n n}y_n \end{array} \right. $$
　　的矩阵$C=(c_{ij})$是正交的，那么它就称为正交的线性替换。正交的线性替换当然是非退化的。
　　用二次型的语言，定理1可以叙述为：

定理2　任意一个实二次型
$$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j，a_{ij}=a_{ji}$$
　　都可以经过正交的线性替换变成平方和
$$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2，$$
　　其中平方项的系数$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\cdots$，$\lambda_n$就是矩阵$A$的特征多项式全部的根。

　　最后我们指出，以上结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类。
　　在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是
$$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{12}xz+2a_{13}yz+2b_1x+2b_2y+2b_3z+d=0。$$
　　令
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}} \right) ，X= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)，B= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{array}} \right) 。$$
　　则上式可以写成
$$X'AX+2B'X+d=0。$$
　　经过转轴，坐标变换公式为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{12}&c_{22}&c_{23}\\ c_{13}&c_{23}&c_{33} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ y_2\\ z_3 \end{array}} \right) ，或者X=CX_1。$$
　　其中$C$为正交矩阵且$|C|=1$。在新坐标系中，曲面的方程就是
$$X_1'(C'AC)X_1+2(B'C)X_1+d=0。$$
　　根据上面的结果，有行列式为$1$的正交矩阵$C$使
$$C'AC= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{array}} \right) 。$$
　　这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为
$$\lambda_1x_1^2+\lambda_2y_1^2+\lambda_3z_1^2+2b_1^*x_1+2b_2^*y_1+2b_3^*z_1+d=0，$$
　　其中
$$(b_1^*,b_2^*,b_3^*)=(b_1,b_2,b_3)C。$$
　　这时，再按照$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\lambda_3$是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程。譬如说，当$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\lambda_3$全不为零时，就作移轴
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=x_2-\frac{b_1^*}{\lambda_1}\\ y_1=y_2-\frac{b_2^*}{\lambda_2}\\ z_1=z_2-\frac{b_3^*}{\lambda_3} \end{array} \right. $$
　　于是曲面的方程化为
$$\lambda_1x_2^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3z_2^2+d^*=0，$$
　　其中
$$d^*=d-\frac{b_1^{*2}}{\lambda_1}-\frac{b_2^{*2}}{\lambda_2}-\frac{b_3^{*2}}{\lambda_3}$$。