标架与坐标

castelu

　　空间中任意三个有次序的不共面的向量组$e_1$，$e_2$，$e_3$称为空间中的一个基。根据定理，对于空间中任一向量$a$，存在唯一的数组$(x,y,z)$，使
$$a=xe_1+ye_2+ze_3，$$
　　我们把有序三元实数组$(x,y,z)$称为$a$在基$e_1$，$e_2$，$e_3$下的坐标，记为$a=(x,y,z)$。
　　在空间中任意取定一点$O$，则任意一点$M$与向量$\vec {OM}$一一对应，我们把向量$\vec {OM}$称为点$M$的位置向量（或径矢）。

定义1　空间中一个点$O$和一个基$e_1$，$e_2$，$e_3$合在一起称为空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称标架，记为$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，其中$O$称为标架的原点，$e_1$，$e_2$，$e_3$称为标架的坐标向量。对于空间中任一点$M$，把它的位置向量$\vec {OM}$在基$e_1$，$e_2$，$e_3$下的坐标称为点$M$在仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$中的坐标。若$\vec {OM}=(x,y,z)$，则点$M$的坐标记为$M(x,y,z)$。

　　由定义知，点$M$在标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$中的坐标为$(x,y,z)$当且仅当
$$\vec {OM}=xe_1+ye_2+ze_3。$$
　　以后我们把向量$a$在基$e_1$，$e_2$，$e_3$中的坐标也称为$a$在仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$中的坐标。
　　空间中取定一个标架后，由定理知，空间中全体向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了一一对应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。
　　设$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$为空间的一个标架，过原点$O$，且分别以$e_1$，$e_2$，$e_3$为方向的有向直线分别称为$x$轴、$y$轴、$z$轴，统称为坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平面，它们分别是$xOy$，$yOz$，$zOx$平面。坐标平面把空间分成八个部分，称为八个卦限，在每个卦限内，点的坐标的符号不变。
　　将右手四指（拇指除外）从$x$轴方向弯向$y$轴方向（转角小于$\pi$），如果拇指所指的方向与$x$轴方向在$xOy$平面同侧，则称此坐标系为右手系，否则称为左手系。
　　各卦限内点的坐标符号如下表（右手系）。

	$I$	$II$	$III$	$IV$	$V$	$VI$	$VII$	$VIII$
$x$	$+$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$	$+$
$y$	$+$	$+$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
$z$	$+$	$+$	$+$	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$

定义2　如果$e_1$，$e_2$，$e_3$是两两垂直的单位向量，则$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$称为直角标架或直角坐标系。

注：如果$e_1$，$e_2$，$e_3$仅是两两垂直的向量，则$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$称为笛卡尔标架。

　　直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在直角标架中的坐标称为它的直角坐标，在仿射标架中的坐标称为它的仿射标架。
　　取定标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$，设向量$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$。

命题1
（1）$a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$。
（2）$a-b=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$。
（3）对于任意实数$\lambda$，有$\lambda a=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。

定理1　向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标。

定理2　$a$与$b$共线当且仅当对应坐标成比例。

　　对于线段$P_1P_2$（$P_1 \ne P_2$），如果点$P$满足$\vec {P_1P}=\lambda \vec {PP_2}$，则称点$P$分线段$P_1P_2$成定比$\lambda$，当$\lambda>0$时，$\vec {P_1P}$与$\vec {PP_2}$同向，点$P$在线段$P_1P_2$内，称$P$为内分点；当$\lambda<0$时，$\vec {P_1P}$与$\vec {PP_2}$反向，点$P$在线段$P_1P_2$外，称$P$为外分点；当$\lambda=0$时，$P$与$P_1$重合。假若$\lambda=-1$，则$\vec {P_1P}=-\vec {PP_2}$，即$\vec {P_1P_2}=0$，这与$P_1 \ne P_2$矛盾，所以$\lambda \ne -1$。

命题2　设$P_i(x_i,y_i,z_i)$（$i=1,2$），则分线段$P_1P_2$成定比$\lambda$（$\lambda \ne -1$）的分点$P$的坐标是
$$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}，y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}，z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}。$$

推论　线段$P_1P_2$的中点坐标为
$$x=\frac{x_1+x_2}{2}，y=\frac{y_1+y_2}{2}，z=\frac{z_1+z_2}{2}。$$