二次曲面

castelu

　　方程
$$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0$$
表示的曲面称为二次曲面，其中$a_{11}$，$a_{22}$，$a_{33}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{23}$不全为$0$。
　　我们已经知道二次方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0，\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0，x^2-2py=0$$
　　分别表示椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面，而二次方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$$
　　则表示二次锥面。下面再研究几个二次方程表示的图形。

椭球面
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1，$$
　　其中，$a>0$，$b>0$，$c>0$，表示的图形称为椭球面。
（1）有界性　由方程立即得出
$$|x| \le a，|y| \le b，|z| \le c。$$
（2）对称性　如果点$(x,y,z)$在上式表示的椭球面$S$上，则它关于$xOy$面的对称点$(x,y,-z)$也在$S$上，即$S$关于$xOy$面对称。同样，$S$关于$yOz$面及$xOz$面也对称。因此，三个坐标面都是$S$的对称平面。
　　因为用$-y$，$-z$分别代替$y$，$z$，方程不变，所以$S$关于$x$轴对称。类似地，$S$关于$y$轴和$z$轴也对称。
　　因为用$-x$，$-y$，$-z$分别代替$x$，$y$，$z$而方程不变，所以$S$关于坐标原点对称，因而原点是$S$的对称中心。
（3）形状　我们用平行于坐标面的一族平面去截曲面，通过这些平面截线（称为截口）就可看出曲面的大致形状。
　　曲面$S$与$xOy$面的交线为
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\\
z=0.
\end{array} \right.$$
　　它是椭圆。用平行于$xOy$面的平面$z=h$（$|h|<c$）去截$S$得
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2},\\
z=h,
\end{array} \right.$$
　　它也是椭圆。用$z=\pm c$去截曲面，得两点$(0,0,\pm c)$。而平面$z=h$，当$|h|>c$时，与$S$无交点。
　　至于用平行于其他两个坐标面的平面去截$S$，可类似地讨论。

双曲面
（1）单叶双曲面
　　方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1（a,b,c>0）$$
　　表示的曲面称为单叶双曲面。
　　类似于椭球面的讨论，它关于三个坐标面，三条坐标轴都对称，关于坐标原点也对称。
　　它与坐标面$yOz$，$xOz$的交线分别是
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,\\
x=0,
\end{array} \right.，\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,\\
y=0,
\end{array} \right.$$
　　它们都是双曲线。
　　曲面与$xOy$面的平行平面的截口为
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2},\\
z=h,
\end{array} \right.$$
　　它是椭圆，并且当$|h|$增大时，椭圆的长、短半轴也增大。当$h=0$时，此椭圆称为单叶双曲面的腰椭圆。
　　曲面与平面$x=l$或$y=m$的截口都是双曲线，而与平面$x=\pm a$，或$y=\pm b$的截口都是两条相交的直线，它们可看成双曲线的退化情形。

（2）双叶双曲面
　　方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1（a,b,c>0）$$
　　表示的曲面称为双叶双曲面。
　　双叶双曲面关于三个坐标面、三个坐标轴、坐标原点都对称。
　　由上式知道，曲面上的点满足$|z| \ge c$。曲面与$xOz$面、$yOz$面的交线分别为
$$\left\{ \begin{array}{l}
-\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\\
y=0,
\end{array} \right.，\left\{ \begin{array}{l}
-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\\
x=0.
\end{array} \right.$$
　　它们都是双曲线。
　　曲面与平面$z=h$（$|h| \ge c$）的截口为
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1,\\
z=h,
\end{array} \right.$$
　　这是椭圆或一个点。
　　如果用平面$z=h$（$|h|>c$）同时去截二次锥面和双曲面
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1，$$
　　得到三个截口，它们都是椭圆
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2},\\
z=h,
\end{array} \right.，\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2},\\
z=h,
\end{array} \right.，\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1,\\
z=h.
\end{array} \right.$$
　　它们的半轴分别是
$$a_1=\frac{a}{c}|h|，b_1=\frac{b}{c}|h|；a_2=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}，$$
$$b_2=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}；a_3=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}，b_3=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}。$$
　　由于$a_3<a_1<a_2$，$b_3<b_1<b_2$，并且
$$\lim\limits_{|h| \rightarrow \infty}(a_2-a_3)=0，\lim\limits_{|h| \rightarrow \infty}(b_2-b_3)=0，$$
　　所以我们称二次锥面是双曲面的渐近锥面。

抛物面
（1）椭圆抛物面
　　方程
$$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z（p>0,q>0）$$
　　表示的曲面称为椭圆抛物面。
　　它以$yOz$面和$xOz$面为对称平面，$z$轴为对称轴。因为$z \ge 0$，所以曲面全部位于$xOy$面上方。曲面与$xOz$面、$yOz$面的交线分别是
$$\left\{ \begin{array}{l}
x^2=2pz,\\
y=0,
\end{array} \right.，\left\{ \begin{array}{l}
y^2=2qz,\\
x=0,
\end{array} \right.$$
　　这些都是抛物线。用平面$z=h$（$h \ge 0$）去截此曲面得截口
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2h,\\
z=h,
\end{array} \right.$$
　　它们是椭圆或一个点，这点称为椭圆抛物面的顶点。

（2）双曲抛物面
　　方程
$$\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z（p>0,q>0）$$
　　表示的曲面称为双曲抛物面（或马鞍面）。
　　它以$xOz$面和$yOz$面为对称平面，$z$轴是它的对称轴，对称轴与曲面的交点称为鞍点。
　　曲面与$xOz$面和$yOz$面的交线分别为
$$\left\{ \begin{array}{l}
x^2=2pz,\\
y=0,
\end{array} \right.，\left\{ \begin{array}{l}
y^2=-2qz,\\
x=0,
\end{array} \right.$$
　　它们是抛物线。用平面$z=h$去截曲面，所得的截口为
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2h,\\
z=h,
\end{array} \right.$$
　　这是双曲线或一对相交直线。当$h>0$时，实轴平行于$x$轴，当$h<0$时，实轴平行于$y$轴。
　　曲面与$x=l$的交线
$$\left\{ \begin{array}{l}
y^2=-2q(z-\frac{l^2}{2p}),\\
x=l,
\end{array} \right.$$
　　也是抛物线，它的形状与$y^2=-2qz$，$x=0$一样，且顶点$(l,0,\frac{l^2}{2p})$在$x^2=2pz$，$y=0$上。因而双曲抛物面可看成抛物线$y^2=-2qz$，$x=0$使其顶点在抛物线$x^2=2pz$，$y=0$上平行移动所产生的曲面。