对偶原理

castelu

　　既然直线也有齐次坐标，因此从齐次坐标的观点来看，$\overline {\Pi}$上的点与直线的地位对等。为了方便，两点$A$，$B$确定的直线用$AB$表示，两直线$l_1$，$l_2$的交点用$l_1l_2$表示。如果点$P$在直线$l$上，就说点$P$与直线$l$关联；如果直线$l$经过点$P$，就说直线$l$与$P$关联。
　　设$\phi(点,线)$是$\overline {\Pi}$上一些点和一些直线的关联关系的一个命题，那么，把命题中的点都改写成直线，把直线都改写成点，并且保持关联关系不变及其他一切表述不变，则得到的命题$\phi(线,点)$称为原命题$\phi(点,线)$的对偶命题。

原命题	对偶命题
（1）$\overline {\Pi}$上三点共线当且仅当它们的齐次坐标组成的行列式为$0$。	（1）'$\overline {\Pi}$上三线共点当且仅当它们的齐次坐标组成的行列式为$0$。
（2）$\overline {\Pi}$上若三点$P_1$，$P_2$，$P_3$不共线，则三线$P_1P_2$，$P_2P_3$，$P_3P_1$不共点。	（2）'$\overline {\Pi}$上若三线$l_1$，$l_2$，$l_3$不共点，则三点$l_1l_2$，$l_2l_3$，$l_3l_1$不共线。
（3）Desargues定理：在$\overline {\Pi}$上，如果两个三角形的对应顶点的连线共点，则它们的对应边的交点共线。	（3）'Desargues逆定理：在$\overline {\Pi}$上，如果两个三角形的对应边的交点共线，则它们的对应顶点的连线共点。

　　射影平面上的对偶原理：在$\overline {\Pi}$上，如果一个命题$\phi(点,线)$可以证明是一条定理，则它的对偶命题$\phi(线,点)$也可以证明是一条定理。