角谷猜想的代数结构

lzmaks

对有理函数f=F(d，n)=3n+d，（d，n）∈Q进行路径积分： 构造有理域变换： f：L→J →AB，F=(x，y，z)={∑f(x，y，z)|x=3n+d，y=3n-d，z=n/2，(d，n）∈Q}： L=(x0，y0，z0)={∑f(x0，y0，z0)|d=0，n=0，x0=3×0+0=0，y0=3×0-0=0，z0=0/2=0}→J=（x1，y1，z1）={∑f(x1，y1，z1)|d=1，n=0，x1=3×0+1=1，y1=3×0-1=-1，z1=0/2=0}→A=(x2，y2，z2)={∑f(x2，y2，z2)|d∈Q，n∈Q+，x2=3×1+d，y2=3×1-d，z2=n/2}B=(x3，y3，z3)={∑f(x3，y3，z3)|d∈Q，n∈Q-，x3=3×(-1)+d，y3=3×(-1)-d，z3=n/2}。
(1)通过路径A进行有理域变换： 【1】(3×1+d1-1)/3=(3×1-d1)/2，d1=1；(3×1-d2-1)/3=(3×1+d2)/2，d2=-1。【2】(3×1-d3)/2=2(3×1+d3)，d3=9/5；(3×1+d4)/2=2(3×1-d4)，d4=-9/5。 【3】3(3×1-d5)+1=2(3×1+d5)，d5=4/5；3(3×1+d6)+1=2(3×1-d6)，d6=-4/5。 取d=1，则x2=4，y2=2，可得拓扑循环A=(4，2，1，4)。根据变换法则，取拓扑不动点n=1，则x4=3×1+1=4，y4=3×1-1=2；可得拓扑循环S=(4，2，1，4)=A，所以S同胚于A，因此可得拓扑循环(A，A)，所以A是单连通域，因此正整环上的3n+1变换有且只有拓扑循环A=(4，2，1，4)。
(2)通过路径B进行有理域变换： 〈1〉由(1)可知n=-1时本变换等价于(1)，因此d=1，x5=-2，y5=-4，可得拓扑循环B=(-1，-2，-1)，因为-4B，所以n=-1不是拓扑不动点，不满足变换法则，因此取拓扑不动点n=-2。 〈2〉【1】[3×(-2)-d7-1]/3=[3×(-2)+d7]/2，d7=4/5；[3×(-2)+d8-1]/3=[3×(-2)-d8]/2，d8=-4/5。【2】[3×(-2)-d9]/2=2[3×(-2)+d9]，d9=18/5；[3×(-2)+d10]/2=2[3×(-2)-d10]，d10=-18/5。【3】3[3×(-2)+d11]+1=2[3×(-2)-d11]，d11=1；3[3×(-2)-d12]+1=2[3×(-2)+d12]，d12=-1。 取d=1，则x6=-5，y6=-7，可得拓扑循环C=(-5，-14，-7，-20，-10，-5)，根据变换法则，取拓扑不动点n=-14。 〈3〉 【1】[3×(-14)-d13-1]/3=[3×(-14)+d13]/2，d13=8；[3×(-14)+d14-1]/3=[3×(-14)-d14]/2，d14=-8。【2】[3×(-14)-d15]/2=2[3×(-14)+d15]，d15=126/5；[3×(-14)+d16]/2=2[3×(-14)-d16]，d16=-126/5。【3】3[3×(-14)+d17]+1=2×[3×(-14)-d17]，d17=41/5；3[3×(-14)-d18]+1=2[3×(-14)+d18]，d18=-41/5。取d=8，则x7=-34，y7=-50，可得拓扑循环D=(-34，-17，-50，-25，-74，-37，-110，-55，-164，-82，-41，-122，-61，-182，-91，-272，-136，-68，-34)；根据变换法则，取拓扑不动点n=-17。 〈4〉【1】[3×(-17)-d19-1]/3=[3×(-17)+d19]/2，d19=49/5；[3×(-17)+d20-1]/3=[3×(-17)-d20]/2，d20=-49/5。 【2】[3×(-17)-d21]/2=2[3×(-17)+d21]，d21=153/5；[3×(-17)+d22]/2=2[3×(-17)-d22]，d22=-153/5。 【3】3[3×(-17)+d23]+1=2[3×(-17)-d23]，d23=10；3[3×(-17)-d24]+1=2[3×(-17)+d24]，d24=-10。取d=10，则x8=-41，y8=-61，可得拓扑循环E=(-41，-122，-61，……，-41)=D，所以E同胚于D，因此可得拓扑循环(D，D)，所以D是单连通域，因此B，C，D两两同伦，所以负整环上的3n+1变换有B，C，D3个拓扑循环。
结论：整环上的3n+1变换有A，B，C，D4个拓扑循环。