等价无穷小性质的理解、延拓及应用

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作者：肖岸纯
【摘要】  　　等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。
【关键词】  等价无穷小　极限　罗比塔法则　正项级数 比较审敛法
　　Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimal's Character
　Abstract  Equivalent Infinitesimal have good characters,both inopreation of test for Limit and determine whether the positive seriesconverges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtainmore effect,the effection can not be replace by L'Hospital Rule.thispaper give examples and compare some instance to pay attention tocondition in application of Equivalent Limit,so the question can besimply and avoid error in application.
    Key words   equivalent Infinitesimal;  limit;    L'Hospital rule positive series;   comparison test
　　等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。
　　1  等价无穷小的概念及其重要性质［1］
    无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。
　　当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。
    常见性质有：
    设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ
    性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
    ③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′
　　证明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1  ∴ α+β～α′+β′
　　而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′
    ④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′
　　此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。
　　2  等价无穷小的应用
　　2.1  在求极限中经常用到的等价无穷小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1,   1-cosx～12x2,  n1+x～1+xn,(x→0)
　　例1  limx→0tanx-sinxx3
　　解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx
=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)
=12
　　此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。
    ∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。
　　例2  limx→0e2x-31+xx+sinx2
　　解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
　　用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。
　例3  limx→0(1x2-cot2x)
　　解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4    (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
　　解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44    (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23    (∵ tanx～x)
　　两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～x-xcosx(注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性质③ sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。
　　2.2  在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用。
    比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正项级数， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。
　　② 如果limn→∞unvn=l>0或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。
    例4  判定∑∞n=11n2-lnn 的敛散性
    解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1    又∑1n2 收敛 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收敛
    例5  研究∑∞n=11ln(1+n)的敛散性
    解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1    而∑1n 发散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 发散
　　3  等价无穷小无可比拟的作用
    以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：
    例6［3］  limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
    解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx)  （用罗比塔法则）
    =limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx)  （分离非零极限乘积因子）
    =limx→0+sin(tanx)tan(sinx)   （算出非零极限）
    =limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx)  （用罗比塔法则）
    =limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
    =limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
    出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。
    ∵ x～sinx～tanx(x→0)
    ∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
    由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性［3］。只要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。
【参考文献】
  　　1 同济大学应用数学系，主编.高等数学.第5版.北京：高等教育出版社，2002,7（38）：56～59.

　　2 杨文泰，等.价无穷小量代换定理的推广.甘肃高师学报，2005，10（2）：11～13.

　　3 王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨.黔西南民族师专学报，2001，12（4）：56～58.