(x^n)'=nx^n-1 的证明 (初等方法,但有缺陷)

castelu

高中知识活学活用

缺陷就是n只能取正整数

lzk05_lzk0530

请问你知道证明n属于整数和任意实数的方法吗？

[ 本帖最后由 lzk05_lzk0530 于 2008-3-29 20:31 编辑 ]

lzk05_lzk0530

1如果u，v都是x的可导函数，且v不为0，则函数y=u/v也是x的可导函数，并且
y’=（u/v）’=（vu’-uv’） /  v^2
利用此公式可证明y=x^n为负整数时(x^n)'=nx^n-1 成立

lzk05_lzk0530

取对数求导法：两边取对数，再按隐函数求导
隐函数：设方程P（x，y)=0确定y是x的函数，并且可导。现在利用符合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数
例如：x^2+y^2-r^2=0是一个自变量为x，因变量为y的隐函数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y^2看做x的复合函数，右端导数显然为0
则有d/dx  （x^2) +d/dx (y^2)-d/dx (r^2)=0
2x+2y(dy/dx）=0
于是x+y（dy/dx）=0
dy/dx=-x/y
利用对数求导法，易证(x^n)'=nx^n-1 当n为任意常数时均成立

zhangyuong

我记得推广到实数的好象都是要用极限说明的

castelu

厉害

mmyyxx

用极限的思想，很好很强大

以利亚

[b]      东大的课本上证明如是：(x^u)'=(e^(ulnx))'=(e^(ulnx))*(xlnu)'=(x^u)*(u/x)=u*x^(u-1),u为任意实数。