奥赛题目123

xuan2009 · 发表于 2009-2-14 21:24:31

1.       1.已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+1/2(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

2.       2.是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?

3.       3.方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解(x,y)的个数是?

战巡 · 发表于 2009-2-14 22:26:10

1、设两解为x1,x2
方便起见，设a≤b
这样有
$\\displaystyle x_1+x_2=ab$
$\\displaystyle x_1x_2=\\frac{1}{2}(a+b)$
$\\displaystyle (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-x_1-x_2+1=\\frac{1}{2}(a+b)-ab+1$
$\\displaystyle 4(x_1-1)(x_2-1)=2(a+b)-4ab+4=5-(2a-1)(2b-1)$
$\\displaystyle 4(x_1-1)(x_2-1)+(2a-1)(2b-1)=5$
a,b都是正整数，自然x1,x2也要是正整数
这样(2a-1)(2b-1)无论如何都是正数，(x1-1)(x2-1)无论如何都是非负数
这样，要么(x1-1)(x2-1)=0,(2a-1)(2b-1)=5，要么(x1-1)(x2-1)=1，(2a-1)(2b-1)=1
一个解出a=1,b=3，x1=1,x2=2，另一个解出的x不是整数
那就只能是a=1,b=3,x1=1,x2=2了

战巡 · 发表于 2009-2-14 22:31:02

2、假设存在m,n满足条件
这样有
$\\displaystyle m^2+2m-n^2-n=0$
以m为主元
$\\displaystyle \\Delta=4+4n^2+4n=(2k)^2$ (k为非负整数)
$\\displaystyle (2n+1)^2+3=4k^2$
$\\displaystyle (2k+2n+1)(2k-2n-1)=3$
k,n都是整数，因此只能是
2k+2n+1=3，2k-2n-1=1，解得k=1,n=0，显然不满足条件
因此这样的m,n不存在

战巡 · 发表于 2009-2-14 22:43:01

3、假设整数对(x,y)满足条件
$\\displaystyle p=x^3+6x^2+5x=x(x+1)(x+5)$
x mod 3=0时，p mod 3=0，x mod 3=1时p mod 3=0，x mod 3=2时p mod 3=0
无论x是什么都有p mod 3=0
而对于 $\\displaystyle q=y^3-y+2$
y mod 3=0时，q mod 3=2，y mod 3=1时q mod 3=2，y mod 3=2时q mod 3=2
就是说无论y是什么都有q mod 3=2
这就意味着，两边不可能相等，这样的数对不存在
这个方程根本没有整数解

[ 本帖最后由战巡于 2009-2-14 22:44 编辑 ]

xuan2009 · 发表于 2009-2-15 09:23:47

好厉害啊!谢谢了

小思 · 发表于 2009-2-15 20:12:54

LS的
这个人一向厉害
不然怎么被人称为理科不败
不过
败在爱情

战巡 · 发表于 2009-2-15 20:52:54

原帖由小思于 2009-2-15 20:12 发表
LS的
这个人一向厉害
不然怎么被人称为理科不败
不过
败在爱情

你个死鱼真是...哪壶不开提哪壶.........
爱情这种东西目前还没研究过.....败不败还没有定论...........

小思 · 发表于 2009-2-16 18:35:05

原帖由战巡于 2009-2-15 20:52 发表

你个死鱼真是...哪壶不开提哪壶.........
爱情这种东西目前还没研究过.....败不败还没有定论...........

爱情这东西不是用来研究滴~
可是你却用了“研究”这一个词语
唉~
哪有不败之理阿
假币弟弟~
乖~
就承认你在爱情上是个菜鸟吧~

xuan2009 · 发表于 2009-2-19 20:12:55

我发现以上题目的其中一题有更简单的解题方法.周末再发上来.

5601706 · 发表于 2009-8-9 12:11:29

天下牛B !!!!!!!

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