一道很有味道的几何题

422021984

已知△ABC中，∠B,∠C的平分线分别交AC,AB于D、E两点。求证：BD=CE是AB=AC的充要条件。

战巡

原帖由 422021984 于 2009-4-17 19:30 发表
已知△ABC中，∠B,∠C的平分线分别交AC,AB于D、E两点。求证：BD=CE是AB=AC的充要条件。

必要性太弱智了，这里就不证了
只证明充分性
如图，假设∠ABC<∠ACB
作∠ECP=∠EBD，由于∠ABC<∠ACB，所以∠EBD<∠DCE
那么P会在线段BD上
∠EBD=∠PCE，∠EOB=∠POC
这样有∠BEC=∠BPC
根据正弦定理得到
sin∠EBC/CE=sin∠BEC/BC=sin∠BPC/BC=sin∠PCB/BP
而∠EBC<∠PCB，而且显然∠EBC+∠PCB<180
因此有
sin∠EBC<sin∠PCB
所以有CE<BP，加上CE=BD得到BD<BP
前面得到P在BD上，即BP<BD，显然是矛盾的，所以不可能
同理证明∠ABC>∠ACB也不可能
因此∠ABC=∠ACB，AB=AC

[ 本帖最后由 战巡 于 2009-5-15 18:08 编辑 ]

422021984

"由于∠ACB<∠ACB，所以∠EBD<∠DCE "
这个地方不太清楚了~是指默认了∠ECB=∠DBC 吗？
应该不是显然的，需要证明一下~麻烦请详细一点点好吧？谢了~~~

[ 本帖最后由 战巡 于 2009-5-15 18:10 编辑 ]

战巡

原帖由 422021984 于 2009-5-15 12:34 发表
"由于∠ACB

呃...上面那里打错字，现在已经改过来了

∠EBD=∠ABC/2,∠DCE=∠ACB/2，所以当∠ABC<∠ACB时有∠EBD<∠DCE