三角形的内心与外心

石崇的BOSS

在△ABC中，∠C=30°，O为外心，I为内心，边AC上的点D与BC边上的点E使得AD=BE=AB.
求证：IO⊥DE且IO=DE.

战巡

原帖由 石崇的BOSS 于 2009-4-19 23:19 发表
在△ABC中，∠C=30°，O为外心，I为内心，边AC上的点D与BC边上的点E使得AD=BE=AB.
求证：IO⊥DE且IO=DE.
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如图...
这个有点麻烦
先看左边的图，如图连线，其中BF为∠OBE平分线
易证△AOB为等边三角形，然后AI、BI为∠CAB、∠CBA平分线
加上AD=AB=BE可以得到
△DIA≌△ABI≌△EIB
然后∠AIB=∠180-∠IAB-∠IBA=180-(180-30)/2=105
因此∠DIE=360-∠DIA-∠AIB-∠BIE=360-105*3=45

另外
∠IDA=∠ABI=∠ABC/2
而
∠AFB=180-∠CAB-(∠ABC-60)/2-60=∠ABC/2
因此BF∥DI，而易证BF⊥OE
因此DI⊥OE
同理EI⊥DO
这样O为△DIE垂心，自然有OI⊥DE了

至于OI=DE的证明要用第二个图，
这个△PQR是这样的：∠QPR=45，H为其垂心
那么这里
S△PQH+S△PRH=(1/2)(QH*PH+RH*PM)
由于∠QPR=45，可以证明QN=PN，RM=PM
这样原式=(1/2)(QH*QN+RH*RM)
易证△RHL∽△RMQ
则有RH/QR=RL/RM，RH*RM=QR*RL
同理QH*QN=QR*QL
原式=(1/2)QR^2
而S△PQH+S△PRH=(1/2)PH*QR=(1/2)QH^2
因此QH=QR

回到左边的图中，同样由于△DIE中∠DIE=45，O为垂心
所以有OI=DE