代数观念的变革时期

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代数观念的变革时期
代数思想的革命发生在十九世纪30～40年代。
1830年，皮科克的《代数学》问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究。在这之前，代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版。皮科克试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。他和德·摩根等英国学者围绕这一目标的工作，为代数结构观点的形成及代数公理化研究作了尝试，因而皮科克被誉为“代数中的欧几里得”。皮科克的目标虽然很有价值，但方法过于含糊，无法达到他的愿望。  
代数中更深刻的思想来自于数学史上传奇式的人物伽罗华。在1829～1832年间，他提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构(群)理论奠定了基础，阐明了群的正规子群及同构等重要概念。
伽罗瓦在1832年去世前，几次向巴黎科学院递交他的论文，均未获答复。他的理论在1846年由刘维尔发表之前几乎无人知晓，到十九世纪60年代后才引起重视，这是数学史上新思想历经磨难终放异彩的最典型的例证。
另一项引起代数观念深刻变革的成果，归功于哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在用“数对”表示复数并探究其运算规则时，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论，时间是1843年。
四元数是第一个被构造出的不满足乘法交换律的数学对象。从此，数学家便突破了实数与复数的框架，比较自由地构作各种新的代数系统。四元数理论一经问世便引来数学与物理学家的讨论，它本身虽没有广泛应用，但成为向量代数、向量分析以及线性结合代数理论的先导。1844年，格拉斯曼在讨论 n维几何时，独立得到更一般的具有 n个分量的超复数理论，这一高度独创的成果由于表达晦涩，无法为当时的学者所理解。在这一时期，还诞生了代数不变量理论，这是从数论中的二次型及射影几何中的线性变换引伸出的课题。1841年左右，凯莱受布尔的影响开始研究代数型在线性变换下的不变量。之后，寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基，成为十九世纪下半叶最热门的研究课题，出现了人数众多的德国学派，进而开辟了代数几何的研究领域。
数论中的重要问题，往往成为新思想发展的酵母。1844年，库默尔在研究费马大定理时提出了理想数理论，借助理想数可证明在惟一因子分解定理不成立的代数数域中，普通数论中的某些结果仍成立。
在这代数学丰产的时期，几何、分析和数论也都有长足的进步。格林在讨论变密度椭球体的引力问题时，考虑了 n维位势；凯莱在分析学中讨论了具有 n个坐标的变量；格拉斯曼则直接从几何上建立高维空间理论。他们从不同角度导出超越直观的 n维空间概念。施陶特确立了不依赖欧氏空间的长度概念的射影几何体系，从逻辑上说明射影几何比欧氏几何更基本。
分析的严格化在继续。狄利克雷按变量间对应的说法给出现代意义下的函数定义。魏尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作，从1842年起采用明确的一致收敛概念于分析学，使级数理论更趋完善。
值得注意的是，未经严格证明的分析工具仍被广泛使用，在获得新结果方面显示威力。格林首先使用了位势函数的极小化积分存在的原理，即现称的狄利克雷原理，它的严格理论迟至1904年才为希尔伯特阐明，但是在十九世纪50年代就已成为黎曼研究分析学的重要工具。
随着分析工具的逐步完善，数学家开始更自觉地在数学其他分支使用它们。除微分几何外，解析数论也应运而生。1837年，狄利克雷在证明算术序列包含无穷多素数时，精心使用了级数理论，这是近代解析数论最早的重要成果。刘维尔则在1844年首次证明了超越数的存在，引起数学家对寻找超越数和证明某些特殊的数为超越数的兴趣。在下半世纪，林德曼利用埃尔米特证明 e为超越数的方法，证明了π的超越性，从而彻底解决了化圆为方问题。