玩计算器想到的一道题

泡面 · 发表于 2009-6-28 13:04:57

设函数f(x),x∈N,f(0)=1,f(x+1)=log₂(f(x)+2),(x≥1)
求证：lim f(x)=2
x→+∞

泡面 · 发表于 2009-6-28 13:36:56

用高中的方法能做出来不

战巡 · 发表于 2009-6-28 14:39:49

这个......我高二的时候研究过.........
首先.......
$\\displaystyle f(0)=1<2$
假设1≤f(x)<2
那么 $\\displaystyle 1=log_2(2)<f(x+1)=log_2(f(x)+2)<log_2(4)=2$
因此1≤f(x+1)<2
所以f(x)全部小于2，大于等于1，说明f(x)有界
再者
$\\displaystyle f(x+1)-f(x)=log_2(f(x)+2)-f(x)=log_2(f(x)+2)-log_2(2^{f(x)})$

即比较 $\\displaystyle f(x)+2,2^{f(x)}$ 大小

设 $\\displaystyle g(x)=x+2-2^x$
易求得
$\\displaystyle g\'(x)=1-ln(2)2^x=0$

$\\displaystyle x=\\frac{ln(ln(2))}{ln(2)}$
显然这里x属于(1,2)，上面这个值不在范围内，g(1)=1,g(2)=0，所以g(x)在(1,2)上恒大于0
因此f(x)单调递增
剩下就好办了，单调有界数列必定有极限
令x趋于无穷，设极限为A
$\\displaystyle A=log_2(A+2)$
解得A1=2，A2≈-1.69，显然A2是不满足条件的，舍去，这就得到极限为2

泡面 · 发表于 2009-6-28 16:03:31

懂了，谢谢我
原来就是没想到A=log₂(A+2)这一步

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